EXEMPLO 9 Encontre \lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{2 x}{x-3} e \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{2 x}{x-3}.
SOLUÇÃO Se x está próximo a 3 mas é maior que 3 , então o denominador x-3 é um número positivo pequeno e 2 x está próximo a 6 . Portanto, o quociente 2 x /(x-3) é um número positivo grande. Então, intuitivamente, temos que
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{2 x}{x-3}=\infty
Analogamente, se x está próximo a 3 mas é menor que 3 , então x-3 é um número negativo pequeno, mas 2 x ainda é um número positivo (próximo a 6). Portanto, 2 x /(x-3) é um número negativo grande. Assim,
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{2 x}{x-3}=-\infty

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem específicas:
  • Calcular \lim_{x\to 3^{+}} \dfrac{2x}{x-3}.
  • Calcular \lim_{x\to 3^{-}} \dfrac{2x}{x-3}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é \dfrac{2x}{x-3}.
  • O ponto problemático é x=3, porque o denominador x-3 fica igual a zero aí (logo a função não está definida em x=3).
  • Para x próximo de 3, o numerador 2x fica próximo de 2\cdot 3 = 6 (um número positivo e finito).

Passo 2

Ideia básica e regra prática (explicada passo a passo, sem pular etapas):
  • Quando uma fração tem numerador que tende para um número finito não nulo e denominador que tende a zero, o quociente tende a infinito em módulo. O sinal (positivo ou negativo) depende do sinal do denominador que se aproxima de zero.
  • Em linguagem mais matemática: se g(x)\to L com L\neq 0 e h(x)\to 0^{+}, então \dfrac{g(x)}{h(x)}\to +\infty. Se h(x)\to 0^{-}, então \dfrac{g(x)}{h(x)}\to -\infty.
  • Exemplos rápidos para fixar a intuição:
    • \lim_{t\to 0^{+}} \dfrac{1}{t}=+\infty porque o numerador é 1>0 e o denominador é um número positivo cada vez menor.
    • \lim_{t\to 0^{-}} \dfrac{1}{t}=-\infty porque o numerador é 1>0 e o denominador é negativo, pequeno em módulo.
Explicando por que essa regra faz sentido, de forma prática:
  • Se o numerador está próximo de um número fixo L>0 e o denominador é um número muito pequeno positivo, o quociente é algo como L/(\text{número muito pequeno positivo})ú, que cresce sem limite — isto é, tende a +\infty.
  • Se o denominador for muito pequeno negativo, o quociente será muito negativo — tende a -\infty.

Passo 3

Aplicando a ideia ao caso x\to 3^{+} (aproximação pela direita):
  • Para x>3 e muito próximo de 3, temos x-3>0 e esse valor é pequeno (tende a 0^{+}).
  • O numerador 2x tende para 2\cdot 3 = 6, que é um número positivo e diferente de zero.
  • Pela regra do passo anterior, um numerador que tende para 6>0 dividido por um denominador que tende para 0^{+} dá: \lim_{x\to 3^{+}} \frac{2x}{x-3} = +\infty.
  • Se quiser uma justificativa um pouco mais formal: escolha, por exemplo, um número M>0. Como 2x\to 6, existe um intervalo à direita de 3 onde 2x>3. Para x nesse intervalo e com 0<x-3<\dfrac{3}{M} segue \frac{2x}{x-3} > \frac{3}{x-3} > \frac{3}{3/M} = M.Isso mostra que a expressão fica arbitrariamente grande e, portanto, tende a +\infty.

Passo 4

Aplicando ao caso x\to 3^{-} (aproximação pela esquerda):
  • Para x<3 e muito próximo de 3, temos x-3<0 e esse valor é pequeno em módulo (tende a 0^{-}).
  • O numerador 2x continua tendendo para 6>0.
  • Então a fração é um número positivo dividido por um número negativo muito pequeno, ou seja, é um número negativo com módulo muito grande. Logo: \lim_{x\to 3^{-}} \frac{2x}{x-3} = -\infty.
  • Um argumento formal análogo ao do passo anterior: para qualquer M>0 existe um intervalo à esquerda de 3 onde 2x>3; para x nesse intervalo com 0<3-x<\dfrac{3}{M} temos \frac{2x}{x-3} < -\frac{3}{3/M} = -M,mostrando que a expressão fica arbitrariamente negativa (tende a -\infty).

Passo 5

Interpretação final e dica prática para prova:
  • A função tem uma assíntota vertical em x=3.
  • Regra prática rápida para usar em prova: quando o denominador se anula em a e o numerador em a não é zero, examine o sinal do denominador ao se aproximar de a pela direita e pela esquerda; isso indica +\infty ou -\infty.
Força aí — essa família de limites de tipo “número finito dividido por algo que vai para zero” aparece muito nas provas; você já pegou a ideia central.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 3^{+}} \dfrac{2x}{x-3}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to 3^{-}} \dfrac{2x}{x-3}=-\infty

Exercícios relacionados