EXEMPLO 9 Encontre
e
.
SOLUÇÃO Se
está próximo a 3 mas é maior que 3 , então o denominador
é um número positivo pequeno e
está próximo a 6 . Portanto, o quociente
é um número positivo grande. Então, intuitivamente, temos que
Analogamente, se
está próximo a 3 mas é menor que 3 , então
é um número negativo pequeno, mas
ainda é um número positivo (próximo a 6). Portanto,
é um número negativo grande. Assim,
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem específicas:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - O ponto problemático é
, porque o denominador fica igual a zero aí (logo a função não está definida em ). - Para
próximo de , o numerador fica próximo de (um número positivo e finito).
Passo 2
Ideia básica e regra prática (explicada passo a passo, sem pular etapas):
- Quando uma fração tem numerador que tende para um número finito não nulo e denominador que tende a zero, o quociente tende a infinito em módulo. O sinal (positivo ou negativo) depende do sinal do denominador que se aproxima de zero.
- Em linguagem mais matemática: se
com e , então . Se , então . - Exemplos rápidos para fixar a intuição:
-
porque o numerador é e o denominador é um número positivo cada vez menor. -
porque o numerador é e o denominador é negativo, pequeno em módulo.
-
Explicando por que essa regra faz sentido, de forma prática:
- Se o numerador está próximo de um número fixo
e o denominador é um número muito pequeno positivo, o quociente é algo como , que cresce sem limite — isto é, tende a . - Se o denominador for muito pequeno negativo, o quociente será muito negativo — tende a
.
Passo 3
Aplicando a ideia ao caso
(aproximação pela direita):
- Para
e muito próximo de , temos e esse valor é pequeno (tende a ). - O numerador
tende para , que é um número positivo e diferente de zero. - Pela regra do passo anterior, um numerador que tende para
dividido por um denominador que tende para dá: - Se quiser uma justificativa um pouco mais formal: escolha, por exemplo, um número
. Como , existe um intervalo à direita de onde . Para nesse intervalo e com segue Isso mostra que a expressão fica arbitrariamente grande e, portanto, tende a .
Passo 4
Aplicando ao caso
(aproximação pela esquerda):
- Para
e muito próximo de , temos e esse valor é pequeno em módulo (tende a ). - O numerador
continua tendendo para . - Então a fração é um número positivo dividido por um número negativo muito pequeno, ou seja, é um número negativo com módulo muito grande. Logo:
- Um argumento formal análogo ao do passo anterior: para qualquer
existe um intervalo à esquerda de onde ; para nesse intervalo com temos mostrando que a expressão fica arbitrariamente negativa (tende a ).
Passo 5
Interpretação final e dica prática para prova:
- A função tem uma assíntota vertical em
. - Regra prática rápida para usar em prova: quando o denominador se anula em
e o numerador em não é zero, examine o sinal do denominador ao se aproximar de pela direita e pela esquerda; isso indica ou .
Força aí — essa família de limites de tipo “número finito dividido por algo que vai para zero” aparece muito nas provas; você já pegou a ideia central.