Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
11.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série abaixo converge ou diverge:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{(n!)^{2}}{(2n)!}.
  • A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série (se possível indicar convergência absoluta).

Passo 2

Escolhendo o método: a expressão do termo envolve fatoriais (n!) e (2n)!. Há vários testes de convergência, mas quando aparecem fatoriais o Teste da Razão (teste de d’Alembert) costuma ser o mais direto porque permite cancelar fatoriais com facilidade e obter um limite simples. Vou aplicar o Teste da Razão e explicá-lo bem.

Passo 3

Enunciado do Teste da Razão (explicado):
  • Seja (a_n)_{n\ge1} uma sequência de termos positivos. Defina
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},
se esse limite existir (ou considerar o limite superior).
  • Se L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, então a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui a_n será a_n=\dfrac{(n!)^{2}}{(2n)!}. “Converge absolutamente” significa que \sum |a_n| converge; como a_n>0 já, isso equivale à convergência da própria série.

Passo 4

Calcular a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} passo a passo.
Primeiro escrevo a_n e a_{n+1}:
a_n=\frac{(n!)^{2}}{(2n)!},\qquad a_{n+1}=\frac{((n+1)!)^{2}}{(2n+2)!}.
Agora formo a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{((n+1)!)^{2}}{(2n+2)!}}{\dfrac{(n!)^{2}}{(2n)!}} = \frac{((n+1)!)^{2}}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}.
Uso a relação (n+1)!=(n+1)\cdot n! e (2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!. Substituindo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\big((n+1)\,n!\big)^{2}}{(2n+2)(2n+1)(2n)!}\cdot\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}.
Agora cancelo os (n!)^{2} e os (2n)!:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{2}}{(2n+2)(2n+1)}.
Fatorando 2n+2=2(n+1):
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{2}}{2(n+1)(2n+1)} = \frac{n+1}{2(2n+1)}.

Passo 5

Calcular o limite L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2(2n+1)}.
Para encontrar esse limite, divido numerador e denominador por n:
\frac{n+1}{2(2n+1)}=\frac{1+1/n}{2(2+1/n)}.
Quando n\to\infty temos 1/n\to0, logo
L=\frac{1+0}{2(2+0)}=\frac{1}{4}.

Passo 6

Interpretação pelo Teste da Razão:
  • Como L=\dfrac{1}{4}<1, o Teste da Razão garante que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge absolutamente.
    Comentário intuitivo: a razão entre termos sucessivos tende a 1/4, isto é, para n grande os termos diminuem aproximadamente como uma progressão geométrica de razão 1/4; séries geométricas com razão <1 somam um valor finito, por isso aqui também a soma converge.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar a ideia: a série geométrica \sum (1/4)^n converge porque sua razão é 1/4<1. No nosso caso, a razão entre termos tende a 1/4, então o comportamento assintótico é semelhante e a série converge. Outra alternativa (mais avançada) seria notar que \dfrac{(n!)^{2}}{(2n)!}=\dfrac{1}{\binom{2n}{n}} e usar a estimativa \binom{2n}{n}\sim \dfrac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}}, obtendo a_n\sim \dfrac{\sqrt{\pi n}}{4^{n}} e, por comparação com uma geométrica, concluir convergência — mas isso exige conhecimento de estimativas assintóticas (fórmula de Stirling). O método da razão foi direto e suficiente.

Resposta

A série converge; mais precisamente, converge absolutamente (logo converge).

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