Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
11.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!}
11.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série abaixo converge ou diverge:
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série (se possível indicar convergência absoluta).
Passo 2
Escolhendo o método: a expressão do termo envolve fatoriais
e
. Há vários testes de convergência, mas quando aparecem fatoriais o Teste da Razão (teste de d’Alembert) costuma ser o mais direto porque permite cancelar fatoriais com facilidade e obter um limite simples. Vou aplicar o Teste da Razão e explicá-lo bem.
Passo 3
Enunciado do Teste da Razão (explicado):
- Seja
uma sequência de termos positivos. Defina
se esse limite existir (ou considerar o limite superior).
- Se
, então a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, então a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aquiserá . “Converge absolutamente” significa que converge; como já, isso equivale à convergência da própria série.
Passo 4
Calcular a razão
passo a passo.
Primeiro escrevo e
:
Primeiro escrevo
Agora formo a razão:
Uso a relação
e
. Substituindo:
Agora cancelo os
e os
:
Fatorando
:
Passo 5
Calcular o limite
.
Para encontrar esse limite, divido numerador e denominador por
:
Quando
temos
, logo
Passo 6
Interpretação pelo Teste da Razão:
- Como
, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente.
Comentário intuitivo: a razão entre termos sucessivos tende a, isto é, para grande os termos diminuem aproximadamente como uma progressão geométrica de razão ; séries geométricas com razão somam um valor finito, por isso aqui também a soma converge.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar a ideia: a série geométrica
converge porque sua razão é
. No nosso caso, a razão entre termos tende a
, então o comportamento assintótico é semelhante e a série converge. Outra alternativa (mais avançada) seria notar que
e usar a estimativa
, obtendo
e, por comparação com uma geométrica, concluir convergência — mas isso exige conhecimento de estimativas assintóticas (fórmula de Stirling). O método da razão foi direto e suficiente.
Resposta
A série converge; mais precisamente, converge absolutamente (logo converge).