11.123 Um carro a 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} encontra-se numa curva de 400 m de raio. Num dado instante, o motorista freia o carro, imprimindo-lhe uma desaceleração constante de 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, Determinar a aceleração total do veículo imediatamente após ter sido aplicado o freio do carro.

Passo 1

O enunciado pede a aceleração total do carro imediatamente após o motorista começar a frear. Dados fornecidos pelo enunciado: velocidade inicial do carro v, raio da curva r e a desaceleração tangencial aplicada pelo freio a_t. Escrevendo os valores numéricos dados e a conversão de unidades:
v = 90\\ \mathrm{km/h} = 25\\ \mathrm{m/s},
r = 400\\ \mathrm{m},
\text{desaceleração tangencial (módulo)}\\ a_t = 1,2\\ \mathrm{m/s^2}.çãó
A tarefa é combinar a componente tangencial (de desaceleração) com a componente normal (centrípeta) para obter a aceleração total.

Passo 2

Explicando os conceitos que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Em movimento curvilíneo a aceleração total \vec{a} tem duas componentes ortogonais:
    • componente tangencial \vec{a}_t, que é responsável pela variação do módulo da velocidade. Seu valor é a_t = \dfrac{dv}{dt}. No caso de freio, a_t é negativo no sentido do movimento, mas aqui usaremos o módulo 1,2\\ \mathrm{m/s^2}.
    • componente normal (ou centrípeta) \vec{a}_n, que aponta para o centro da curva e tem módulo dado por a_n=\frac{v^2}{r}.
  • Como \vec{a}_t e \vec{a}_n são perpendiculares, o módulo da aceleração total é a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}.
Vou calcular cada componente e depois aplicar essa fórmula.

Passo 3

Calcular a componente normal (centrípeta) usando a fórmula \;a_n=\dfrac{v^2}{r}\;:
a_n=\frac{25^2}{400}=\frac{625}{400}=1,5625\\ \mathrm{m/s^2}.
Expliquei: usamos v em \mathrm{m/s} e r em \mathrm{m}, assim a_n fica em \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Calcular o módulo da aceleração total combinando as duas componentes perpendiculares:
a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}=\sqrt{(1,2)^2+(1,5625)^2}.
Faço as contas passo a passo:
(1,2)^2=1,44,
(1,5625)^2=2,44140625,
1,44+2,44140625=3,88140625,
a=\sqrt{3,88140625}\approx1,969\\ \mathrm{m/s^2}.
Arredondando com duas casas decimais:
a\approx1,97\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Determinar a direção da aceleração (opcional, mas útil para interpretar o resultado): o vetor aceleração aponta com uma componente para trás (tangencial, devido ao freio) e uma componente para o centro da curva (normal). Se medirmos o ângulo \varphi entre o vetor aceleração e a direção da desaceleração (isto é, a direção tangencial apontando para trás), então
\tan\varphi=\frac{a_n}{a_t}=\frac{1,5625}{1,2}\approx1,30208,
\varphi=\arctan(1,30208)\approx52,6^\circ.
Interpretação: o vetor aceleração está inclinado cerca de 52,6^\circ a partir da direção tangencial de desaceleração em direção ao centro da curva.

Resposta

1,97\\ \mathrm{m/s^2}
\varphi=52,6^\circ (ângulo entre a aceleração total e a direção da desaceleração, medido em direção ao centro da curva)

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