11.123 Um carro a 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} encontra-se numa curva de 400 m de raio. Num dado instante, o motorista freia o carro, imprimindo-lhe uma desaceleração constante de 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, Determinar a aceleração total do veículo mais tarde.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Velocidade inicial do carro: 90\\ \mathrm{km/h}.
  • Raio da curva: 400\\ \mathrm{m}.
  • Desaceleração (componente tangencial) aplicada pelo freio, constante em módulo: 1,2\\ \mathrm{m/s^2}.
    A pergunta é determinar a aceleração total do veículo (módulo e, se fizer sentido, direção) quando está na curva enquanto freia.

Passo 2

Primeiro precisamos colocar todas as grandezas no mesmo sistema de unidades (SI). Convertemos a velocidade de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. A conversão é:
1\\ \mathrm{km/h} = \frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = \frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
v = 90\\ \mathrm{km/h} = 90\cdot\frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s} = 25\\ \mathrm{m/s}.
Explanação rápida: multiplicamos por \tfrac{1000}{3600} porque 1\\ \mathrm{km}=1000\\ \mathrm{m} e 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Num movimento curvo, a aceleração total \vec{a} tem duas componentes ortogonais:
  • componente normal (centrípeta) direcionada ao centro da curva, com módulo a_n=\dfrac{v^2}{r};
  • componente tangencial a_t (paralela à velocidade) responsável pela variação do módulo da velocidade. No nosso caso o carro está freando, então a_t=-1,2\\ \mathrm{m/s^2} (sinal negativo indica que reduz a velocidade). Para o cálculo do módulo usamos |a_t|=1,2\\ \mathrm{m/s^2}.
Calculamos a componente normal usando \;a_n=\dfrac{v^2}{r}:
a_n=\frac{25^2}{400}=\frac{625}{400}=1,5625\\ \mathrm{m/s^2}.
Explicando a fórmula: v^2/r vem da necessidade de uma aceleração dirigida ao centro para manter a trajetória curvada; quanto maior v ou menor r, maior essa aceleração.

Passo 4

Agora combinamos as duas componentes que são perpendiculares. A magnitude da aceleração total é dada pelo teorema de Pitágoras, porque \vec{a}=\vec{a_t}+\vec{a_n} com ângulos retos entre elas:
a_{\text{total}}=\sqrt{a_t^2+a_n^2}.
Substituindo os valores (usando o módulo de a_t):
a_{\text{total}}=\sqrt{(1,2)^2+(1,5625)^2}.
Calculemos passo a passo:
(1,2)^2=1,44,\qquad (1,5625)^2=2,44140625,
a_{\text{total}}=\sqrt{1,44+2,44140625}=\sqrt{3,88140625}\approx 1,97018\\ \mathrm{m/s^2}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais: a_{\text{total}}\approx 1,97\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Se for útil, podemos também dar a direção da aceleração em relação à direção tangencial (isto ajuda a interpretar: a aceleração aponta para dentro da curva e para trás, porque há componente centrípeta para o centro e componente tangencial contrária ao movimento). O ângulo \varphi entre a aceleração total e a direção tangencial (sentido positivo da velocidade) satisfaz
\tan\varphi=\frac{a_n}{|a_t|}=\frac{1,5625}{1,2}\approx 1,30208,
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\varphi=\arctan(1,30208)\approx 52,8^\circ.
Interpretação: a aceleração forma um ângulo de cerca de 52,8^\circ em relação à direção tangencial, apontando para dentro da curva e para trás.

Resposta

\;a_{\text{total}}=1,97\\ \mathrm{m/s^2}
\;\varphi=52,8^\circ

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