Verifique se os limites abaixo existem, Em caso afirmativo, encontre o limite.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{{ }^{2}(x)}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin^2(x)}{x^2+y^2}.
Informações dadas e o que nos pedem:
  • A função considerada é \displaystyle \frac{\sin^2(x)}{x^2+y^2}, definida para (x,y)\neq(0,0).
  • Queremos saber se, ao nos aproximarmos de (0,0) pelos pares (x,y), o valor da expressão tende a um mesmo número independente do caminho. Se sim, encontrar esse número; se não, afirmar que o limite não existe.

Passo 2

Breve aula-prática sobre limites em duas variáveis (sem jargões):
  • Para que \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) exista é necessário e suficiente que, qualquer que seja a maneira de aproximar (x,y) a (0,0), o valor de f(x,y) tenda ao mesmo número.
  • Uma técnica simples para mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) convergindo para (0,0) que dão limites diferentes. Se esses limites parciais são distintos, o limite total não existe.
  • Vamos também usar um limite unidimensional conhecido e muito útil: \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1,daí \lim_{t\to 0}\frac{\sin^2 t}{t^2}=1.(Esse resultado pode ser provado pelo teorema do sanduíche / desigualdades geométricas; aqui o usamos como ferramenta padrão.)

Passo 3

Caminho 1: aproximar por y=0.
  • Se y=0 e (x,y)\to(0,0) isso equivale a x\to 0. A expressão fica \frac{\sin^2(x)}{x^2+0^2}=\frac{\sin^2(x)}{x^2}=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2.
  • Pelo limite conhecido, \displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2=1^2=1.
  • Portanto, ao aproximar por y=0 obtemos limite igual a 1.

Passo 4

Caminho 2: aproximar por x=0.
  • Se x=0 e (x,y)\to(0,0) isso equivale a y\to 0. A expressão fica \frac{\sin^2(0)}{0^2+y^2}=\frac{0}{y^2}=0.
  • Portanto, ao aproximar por x=0 obtemos limite igual a 0.

Passo 5

Interpretação didática dos dois resultados e reforço com caminhos gerais:
  • Pelos passos anteriores, temos dois caminhos para (0,0) que dão limites diferentes: pelo eixo y=0 o limite é 1; pelo eixo x=0 o limite é 0. Como os valores são diferentes, o limite em duas variáveis não pode existir.
  • Para reforçar a intuição, considere o caminho y=mx (reta passando pela origem). Substituindo y=mx temos \frac{\sin^2(x)}{x^2+y^2}=\frac{\sin^2(x)}{x^2+m^2x^2}=\frac{\sin^2(x)}{x^2}\cdot\frac{1}{1+m^2}.Fazendo x\to 0 obtemos \displaystyle \frac{1}{1+m^2}. Variação de m dá diferentes limites (por exemplo, m=0 1, m\to\infty 0), o que confirma que não há um valor único.

Passo 6

Conclusão final: como existem caminhos que produzem limites diferentes, o limite pedido não existe.

Resposta

O limite não existe.

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