Verifique se os limites abaixo existem, Em caso afirmativo, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se existe o limite
Informações dadas e o que nos pedem:
- A função considerada é
, definida para . - Queremos saber se, ao nos aproximarmos de
pelos pares , o valor da expressão tende a um mesmo número independente do caminho. Se sim, encontrar esse número; se não, afirmar que o limite não existe.
Passo 2
Breve aula-prática sobre limites em duas variáveis (sem jargões):
- Para que
exista é necessário e suficiente que, qualquer que seja a maneira de aproximar a , o valor de tenda ao mesmo número. - Uma técnica simples para mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) convergindo para
que dão limites diferentes. Se esses limites parciais são distintos, o limite total não existe. - Vamos também usar um limite unidimensional conhecido e muito útil:
daí (Esse resultado pode ser provado pelo teorema do sanduíche / desigualdades geométricas; aqui o usamos como ferramenta padrão.)
Passo 3
Caminho 1: aproximar por
.
- Se
e isso equivale a . A expressão fica - Pelo limite conhecido,
. - Portanto, ao aproximar por
obtemos limite igual a .
Passo 4
Caminho 2: aproximar por
.
- Se
e isso equivale a . A expressão fica - Portanto, ao aproximar por
obtemos limite igual a .
Passo 5
Interpretação didática dos dois resultados e reforço com caminhos gerais:
- Pelos passos anteriores, temos dois caminhos para
que dão limites diferentes: pelo eixo o limite é ; pelo eixo o limite é . Como os valores são diferentes, o limite em duas variáveis não pode existir. - Para reforçar a intuição, considere o caminho
(reta passando pela origem). Substituindo temos Fazendo obtemos . Variação de dá diferentes limites (por exemplo, dá , dá ), o que confirma que não há um valor único.
Passo 6
Conclusão final: como existem caminhos que produzem limites diferentes, o limite pedido não existe.
Resposta
O limite não existe.