11.30 i Em um meio anisotrópico, a permissividade varia com a direção e sentido do campo elétrico, e é uma propriedade verificada na maior parte dos cristais. Considere uma onda plana uniforme, propagando na direção z no meio em questão, a qual entra no material com componentes iguais de campo ao longo dos eixos x e y. O fasor campo elétrico possui a seguinte forma:
\mathbf{E}_{s}(z)=E_{0}\left(\mathbf{a}_{x}+\mathbf{a}_{y} e^{j \Delta \beta z}\right) e^{-j \beta z}
onde \Delta \beta=\beta_{x}-\beta_{y} é a diferença das constantes de fase para as ondas que são linearmente polarizadas nas direções x e y. (a) Determine distâncias para dentro do material (utilizando \Delta \beta ) para as quais o campo é: linearmente polarizado e (b) circularmente polarizado. (c) Considere uma impedância intrínseca, que é aproximadamente constante com a orientação do campo, e calcule \mathbf{H}_{s} e <\mathbf{S}>.

Passo 1

O enunciado trata de uma onda plana num meio anisotrópico, em que as constantes de fase para as polarizações em x e y são \beta_x e \beta_y. O fasor do campo elétrico é
\mathbf{E}_s(z)=E_0\bigl(\mathbf{a}_x+\mathbf{a}_y\,e^{j\Delta\beta\,z}\bigr)e^{-j\beta z},
onde \Delta\beta=\beta_x-\beta_y. Precisamos encontrar as posições z para (a) polarização linear e (b) polarização circular, e depois (c) calcular o fasor do campo magnético \mathbf{H}_s e o vetor de Poynting médio \langle\mathbf{S}\rangle, supondo impedância intrínseca \eta constante.

Passo 2

Separe as componentes do campo e defina a diferença de fase relativa \Delta\varphi. Temos \displaystyle E_x=E_0e^{-j\beta z} e \displaystyle E_y=E_0e^{-j\beta z}e^{j\Delta\beta z}.
A diferença de fase entre E_y e E_x é
\Delta\varphi=\arg(E_y)-\arg(E_x)=\Delta\beta\,z.
Para polarização linear, os dois componentes devem estar em fase ou em oposição de fase, isto é, \Delta\varphi=m\pi, m\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Impondo \Delta\varphi=m\pi obtemos
\Delta\beta\,z=m\pi \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{m\pi}{\Delta\beta}, \quad m\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Para polarização circular, além de amplitudes iguais (já garantido por E_0 em ambos os eixos), a diferença de fase deve ser \pm\pi/2 (mais múltiplos de \pi), ou seja
\Delta\beta\,z=\frac{\pi}{2}+m\pi \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{(2m+1)\,\pi}{2\,\Delta\beta}, \quad m\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Usando a impedância intrínseca aproximada \eta constante, o fasor magnético é dado por
\mathbf{H}_s =\frac{1}{\eta}\,\mathbf{a}_k\times\mathbf{E}_s \quad\text{com}\quad\mathbf{a}_k=\mathbf{a}_z
e, pelo produto vetorial, resulta
\mathbf{H}_s(z) =\frac{E_0}{\eta}\,e^{-j\beta z} \bigl(\mathbf{a}_y-\mathbf{a}_x\,e^{j\Delta\beta z}\bigr).

Passo 6

O vetor de Poynting médio é
\langle\mathbf{S}\rangle =\frac{1}{2}\Re\{\mathbf{E}_s\times\mathbf{H}_s^*\}.
Fazendo \mathbf{H}_s^* e calculando o produto vetorial, a única componente não nula é ao longo de \mathbf{a}_z, e obtemos
\langle\mathbf{S}\rangle =\frac{E_0^2}{\eta}\,\mathbf{a}_z.

Resposta

(a) z=\dfrac{m\pi}{\Delta\beta}, m\in\mathbb{Z}.
(b) z=\dfrac{(2m+1)\,\pi}{2\,\Delta\beta}, m\in\mathbb{Z}.
(c)
\mathbf{H}_s(z) =\frac{E_0}{\eta}\,e^{-j\beta z} \bigl(\mathbf{a}_y-\mathbf{a}_x\,e^{j\Delta\beta z}\bigr), \qquad \langle\mathbf{S}\rangle =\frac{E_0^2}{\eta}\,\mathbf{a}_z.

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