11.29 l Considere uma onda com polarização circular à esquerda no espaço livre que se propaga no sentido progressivo de z. O campo elétrico é dado pela forma apropriada da Equação (100). Determine: (a) o campo magnético fasorial, \mathbf{H}_{s}; ( b ) uma expressão para a densidade de potência média na onda em W / \mathrm{m}^{2} pela aplicação direta da Equação (77).

Passo 1

Estamos tratando de uma onda plana circularmente polarizada à esquerda que se propaga no sentido positivo de z no espaço livre. O enunciado nos dá o campo elétrico fasorial na forma padrão da Equação (100) para polarização circular à esquerda, e pede:
(a) o campo magnético fasorial \mathbf{H}_{s};
(b) a densidade de potência média na onda em \mathrm{W/m^2} aplicando diretamente a Equação (77), que é
\langle \mathbf{S} \rangle \;=\;\tfrac12\,\Re\bigl(\mathbf{E}_{s}\times\mathbf{H}_{s}^{*}\bigr).
Para isso vamos precisar usar a relação de onda plana no vácuo
\mathbf{H}_{s} \;=\;\frac{1}{\eta_{0}}\,\hat{k}\times\mathbf{E}_{s},
em que \eta_{0} é a impedância do espaço livre e \hat{k}=\hat{z}.

Passo 2

Escrevendo explicitamente o fasor do campo elétrico para polarização circular à esquerda (olhando no sentido de propagação, o campo gira no sentido anti-horário), temos
\mathbf{E}_{s}(z) \;=\;E_{0}\bigl(\hat{x} \;+\;j\,\hat{y}\bigr)\,e^{-j k z}\,,
onde E_{0} é a amplitude complexa e k o número de onda.

Passo 3

Usando a fórmula de onda plana no vácuo,
\mathbf{H}_{s} =\frac{1}{\eta_{0}}\;\hat{z}\times\mathbf{E}_{s} =\frac{E_{0}}{\eta_{0}}\;\Bigl(\hat{z}\times\bigl(\hat{x}+j\,\hat{y}\bigr)\Bigr)e^{-j k z}.
Como \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y} e \hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x}, obtemos
\mathbf{H}_{s}(z) =\frac{E_{0}}{\eta_{0}}\bigl(\hat{y}-j\,\hat{x}\bigr)e^{-j k z}\,.

Passo 4

Agora vamos calcular a densidade de potência média pela Equação (77):
\langle \mathbf{S} \rangle =\tfrac12\,\Re\bigl(\mathbf{E}_{s}\times\mathbf{H}_{s}^{*}\bigr).
Escrevendo \mathbf{H}_{s}^{*}=\tfrac{E_{0}^{*}}{\eta_{0}}(\hat{y}+j\,\hat{x})e^{+j k z} e fazendo o produto vetorial, notamos que apenas os termos \hat{x}\times\hat{y} e \hat{y}\times\hat{x} contribuem, somando dois \hat{z}. O resultado é
\mathbf{E}_{s}\times\mathbf{H}_{s}^{*} =\frac{E_{0}E_{0}^{*}}{\eta_{0}}\,2\,\hat{z} =\frac{2\,|E_{0}|^{2}}{\eta_{0}}\,\hat{z}.
Tomando metade da parte real, como |E_{0}|^{2} é real, chega-se a
\langle \mathbf{S} \rangle =\frac{|E_{0}|^{2}}{\eta_{0}}\;\hat{z}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{H}_{s}(z)=\frac{E_{0}}{\eta_{0}}\bigl(\hat{y}-j\,\hat{x}\bigr)e^{-j k z}.
(b) \displaystyle \langle \mathbf{S}\rangle =\frac{|E_{0}|^{2}}{\eta_{0}}\;\hat{z}\quad\bigl[\mathrm{W/m^{2}}\bigr].

Exercícios relacionados