a) Qual deve ser o valor da massa de um próton se sua atração gravitacional com outro próton equilibra exatamente a repulsão eletrostática entre eles?
b) Qual é a verdadeira relação dessas duas forças?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro (item a), queremos achar o valor hipotético de uma massa m de próton tal que a atração gravitacional entre dois prótons iguale exatamente a repulsão eletrostática entre eles. O conteúdo que vamos usar é a Lei da Gravitação Universal de Newton e a Lei de Coulomb para forças elétricas.

Passo 2

Escrevemos as expressões das duas forças a uma distância r:
A força gravitacional é
F_{g} = G\,\frac{m^2}{r^2},
e a força de Coulomb (repulsão) é
F_{e} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{e^2}{r^2},
onde G é a constante gravitacional, \varepsilon_{0} a permissividade do vácuo e e a carga elementar.

Passo 3

Para que essas forças se equilibrem, impomos
F_{g} = F_{e} \quad\Longrightarrow\quad G\,\frac{m^2}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{e^2}{r^2}.
Cancelamos r^2 dos dois lados e isolamos m:
m = \sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{e^2}{G}}.

Passo 4

Agora substituímos valores numéricos: \displaystyle e = 1,602\times10^{-19}\,\mathrm{C}, \displaystyle G = 6,674\times10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}, \displaystyle \varepsilon_{0} = 8,854\times10^{-12}\,\mathrm{C^2\,N^{-1}\,m^{-2}}.
Calculando
m = \sqrt{\frac{(1,602\times10^{-19})^2}{4\pi \,(8,854\times10^{-12}) \,(6,674\times10^{-11})}} \approx 1,9\times10^{-9}\,\mathrm{kg}.

Passo 5

No mundo real, o próton tem massa \displaystyle m_{p}=1,673\times10^{-27}\,\mathrm{kg}.
A razão entre as forças gravitacional e elétrica reais é
\frac{F_{g}}{F_{e}} = \frac{G\,m_{p}^2/r^2}{\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,e^2/r^2} = \frac{G\,m_{p}^2}{\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,e^2} \approx 8\times10^{-37}.
Isso mostra que, de fato, a atração gravitacional entre prótons é cerca de 10^{37} vezes menor que sua repulsão eletrostática.

Resposta

(a) \,m\approx1,9\times10^{-9}\,\mathrm{kg}.
(b) Na realidade, \displaystyle F_{g}\approx8\times10^{-37}\,F_{e},
isto é, a força gravitacional é 10^{37} vezes menor que a força elétrica de repulsão entre prótons.

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