11.31
Uma massa de 5,0 \mathrm{~g} de \mathrm{CaCO}_{3}(s) é colocada em um recipiente de 4000 \mathrm{~cm}^{3} a 1073 K . Determine as quantidades finais de \mathrm{CaCO}_{3}(s), \mathrm{CaO}(s) e \mathrm{CO}_{2}(g) presentes. Use a K^{\circ} do Probl. 11.37.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados do enunciado:
    • Massa inicial de \mathrm{CaCO_3}(s): 5{,}0\\ \mathrm{g}.
    • Volume do recipiente: 4000\\ \mathrm{cm^3}. (Isto é 4{,}000\\ \mathrm{L} dividido por 1000; portanto V=4{,}0\\ \mathrm{L}.)
    • Temperatura: 1073\\ \mathrm{K}.
    • O enunciado manda usar o valor de K^{\circ} do problema 11.37. Esse valor de K^{\circ} NÃO foi fornecido aqui, portanto não é possível obter números finais totalmente numéricos sem ele. Vou, portanto:
      • explicar passo a passo como resolver a questão na prova,
      • dar as fórmulas finais em função de K^{\circ},
      • calcular todos os números que não dependem de K^{\circ},
      • e expor claramente o critério (condição) que decide se a decomposição será parcial ou completa.
  • O que é pedido:
    • Determinar as quantidades finais de \mathrm{CaCO_3}(s), \mathrm{CaO}(s) e \mathrm{CO_2}(g) presentes no equilíbrio.

Passo 2

Escrever a reação e a constante de equilíbrio apropriada, e explicar a escolha.
  • Reação de decomposição: \mathrm{CaCO_3}(s) \rightleftharpoons \mathrm{CaO}(s) + \mathrm{CO_2}(g).
  • Importante: nas expressões de constantes de equilíbrio as substâncias sólidas puros não aparecem (sua atividade é \approx 1). Assim, para essa reação a constante de equilíbrio em termos de pressão (chamarei de K_p ou K^{\circ}) é simplesmente igual à pressão parcial do \mathrm{CO_2} no equilíbrio: K^{\circ} = p_{\mathrm{CO_2}}.(Isto vale quando ambos os sólidos estão presentes no equilíbrio. Se um dos sólidos for totalmente consumido, há que se aplicar o balanço material e a equação dos gases ideais — veremos isso adiante.)
  • Ensino rápido: por que sólidos não aparecem? Porque a atividade de um sólido puro é constante (unidade), então não entra na expressão de K. Portanto a pressão de equilíbrio do \mathrm{CO_2} é a grandeza que determina o equilíbrio entre \mathrm{CaCO_3} e \mathrm{CaO}.

Passo 3

Calcular o número de mols inicial de \mathrm{CaCO_3} (conta direta).
  • Massa molar (usar valores atômicos aproximados): \mathrm{M(CaCO_3)} = 40{,}08 + 12{,}01 + 3\cdot16{,}00 = 100{,}09\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Número de mols inicial: n_0 = \frac{5{,}0\\ \mathrm{g}}{100{,}09\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}} \approx 0{,}04995\\ \mathrm{mol}.Para três algarismos significativos, n_0 \approx 0{,}0500\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Definir a extensão da reação e a relação entre pressão de \mathrm{CO_2} e extensão.
  • Seja x (em mol) a quantidade de \mathrm{CaCO_3} que se decompõe em equilíbrio (extensão da reação).
  • Então, em equilíbrio:
    • mols de \mathrm{CaCO_3} restantes: n(\mathrm{CaCO_3}) = n_0 - x.
    • mols de \mathrm{CaO} formados: n(\mathrm{CaO}) = x.
    • mols de \mathrm{CO_2} no gás: n(\mathrm{CO_2}) = x.
  • Pressão parcial do \mathrm{CO_2} (equação dos gases ideais): p_{\mathrm{CO_2}} = \frac{n_{\mathrm{CO_2}} R T}{V} = \frac{x R T}{V}.Onde:
    • R é a constante dos gases; aqui é conveniente usar R=0{,}082057\\ \mathrm{L\\ atm\\ mol^{-1}\\ K^{-1}} se K^{\circ} vier em \mathrm{atm}.
    • T=1073\\ \mathrm{K}.
    • V=4{,}0\\ \mathrm{L}.

Passo 5

Relacionar x com K^{\circ} usando a condição de equilíbrio, e calcular o fator numérico RT/V.
  • Condição de equilíbrio (quando ambos os sólidos estão presentes) é: p_{\mathrm{CO_2}} = K^{\circ}.Substituindo p_{\mathrm{CO_2}}=\dfrac{xRT}{V} obtemos: x = \frac{K^{\circ} V}{R T}.
  • Calcular numericamente o denominador RT/V para facilitar uso em prova: \frac{R T}{V} = \frac{0{,}082057\\ \mathrm{L\\ atm\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}\times 1073\\ \mathrm{K}}{4{,}0\\ \mathrm{L}} \approx 22{,}01\\ \mathrm{atm\\ mol^{-1}}.Portanto, numericamente, x \;(\mathrm{mol}) \;=\; \frac{K^{\circ}\\ (\text{em atm})}{22{,}01} \approx 0{,}04545\;K^{\circ}.Observação sobre unidades: essa fórmula é válida se K^{\circ} estiver expresso em \mathrm{atm}. Se K^{\circ} vier em outras unidades de pressão (por exemplo \mathrm{bar}), converter para a mesma unidade usada em R.

Passo 6

Comparar x calculado com o estoque inicial n_0 e discutir os dois casos físicos possíveis (parcial ou completa decomposição).
  • Temos n_0 \approx 0{,}04995\\ \mathrm{mol}.
  • Defina p_{\max} = pressão de \mathrm{CO_2} obtida se toda a amostra se decompusesse (isto é, x=n_0): p_{\max} = \frac{n_0 R T}{V}.Calculando numericamente: p_{\max} \approx 0{,}04995\times 22{,}01\\ \mathrm{atm} \approx 1{,}10\\ \mathrm{atm}.(ou, com os algarismos dados, p_{\max}\approx 1{,}099\\ \mathrm{atm}; para três algarismos significativos, 1{,}10\\ \mathrm{atm}.)
  • Agora os dois cenários:
    1. Se K^{\circ} \le p_{\max} (isto é, se K^{\circ} \le 1{,}10\\ \mathrm{atm}), então a decomposição alcança um equilíbrio com ambos os sólidos presentes. Nesse caso:
      • x = \dfrac{K^{\circ} V}{R T}.
      • Mols finais: n(\mathrm{CaCO_3}) = n_0 - x,\qquad n(\mathrm{CaO}) = x,\qquad n(\mathrm{CO_2}) = x.
      • Massas finais: m(\mathrm{CaCO_3}) = (n_0-x)\,M(\mathrm{CaCO_3}),
m(\mathrm{CaO}) = x\,M(\mathrm{CaO}),\qquad M(\mathrm{CaO})=40{,}08+16{,}00=56{,}08\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  1. Se K^{\circ} > p_{\max} (isto é, se K^{\circ} > 1{,}10\\ \mathrm{atm}), então a pressão de equilíbrio exigida seria maior do que a máxima pressão que a amostra pode gerar mesmo decompondo-se totalmente. Logo toda a \mathrm{CaCO_3} será consumida (decomposição completa) e não resta \mathrm{CaCO_3}. Nesse caso:
    • n(\mathrm{CaCO_3}) = 0.
    • n(\mathrm{CaO}) = n_0 \approx 0{,}04995\\ \mathrm{mol}.
    • n(\mathrm{CO_2}) = n_0 \approx 0{,}04995\\ \mathrm{mol}.
    • Pressão final do \mathrm{CO_2} é p = p_{\max}\approx 1{,}10\\ \mathrm{atm} (menor que K^{\circ}); o sistema não pode gerar mais \mathrm{CO_2} porque não há mais \mathrm{CaCO_3} disponível.
  • Observação conceitual final: o critério é sempre comparar a pressão de equilíbrio exigida K^{\circ} com a pressão máxima que a amostra pode fornecer se toda ela se decompuser. Se a pressão máxima for suficiente ou maior, o equilíbrio com ambos sólidos é alcançado; se não, a amostra se decompõe completamente.

Passo 7

Dar as expressões finais prontas para aplicar num exame (ou com o valor de K^{\circ} do problema 11.37).
  • Resumo prático (para aplicar direto quando tiver o valor numérico de K^{\circ}):
    • Calcule n_0=\dfrac{5{,}0}{100{,}09}\\ \mathrm{mol}.
    • Calcule x=\dfrac{K^{\circ}V}{RT} com V=4{,}0\\ \mathrm{L}, T=1073\\ \mathrm{K}, R=0{,}082057\\ \mathrm{L\\ atm\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
    • Compare x e n_0:
      • Se x\le n_0: n(\mathrm{CaCO_3})=n_0-x, n(\mathrm{CaO})=x, n(\mathrm{CO_2})=x.
      • Se x>n_0: n(\mathrm{CaCO_3})=0, n(\mathrm{CaO})=n_0, n(\mathrm{CO_2})=n_0 e p_{\mathrm{CO_2}}=p_{\max}=n_0RT/V\approx 1{,}10\\ \mathrm{atm}.
  • Valores numéricos prontos (para referência):
    • n_0\approx 0{,}04995\\ \mathrm{mol}.
    • p_{\max}= \dfrac{n_0 R T}{V}\approx 1{,}10\\ \mathrm{atm}.
    • x\\ (\mathrm{mol}) \approx 0{,}04545\;K^{\circ} (aqui K^{\circ} em \mathrm{atm}).

Resposta

Caso K^{\circ}\le 1{,}10\\ \mathrm{atm}:
n(\mathrm{CaCO_3}) = 0{,}04995 - \dfrac{K^{\circ}}{22{,}01}\\ \mathrm{mol}
n(\mathrm{CaO}) = \dfrac{K^{\circ}}{22{,}01}\\ \mathrm{mol}
n(\mathrm{CO_2}) = \dfrac{K^{\circ}}{22{,}01}\\ \mathrm{mol}
Caso K^{\circ}> 1{,}10\\ \mathrm{atm}:
n(\mathrm{CaCO_3}) = 0
n(\mathrm{CaO}) = 0{,}04995\\ \mathrm{mol}
n(\mathrm{CO_2}) = 0{,}04995\\ \mathrm{mol}
(Usar m(\mathrm{CaCO_3})=(n(\mathrm{CaCO_3}))\times100{,}09\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} e m(\mathrm{CaO})=(n(\mathrm{CaO}))\times56{,}08\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} se quiser massas numéricas.)

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