11.43 Mostre que
, onde
é definido por (11.37).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
onde está dito que
é a quantidade definida por (11.37).
Informações relevantes que vamos usar (tudo explícito):
Informações relevantes que vamos usar (tudo explícito):
-
é a energia livre padrão de Gibbs da reação (em condições padrão de concentração para solutos, pressão padrão para gases, etc.). -
é a energia livre padrão transformada, isto é, a energia livre padrão quando a concentração de prótons é fixada em pH (condição bioquímica padrão). Essa é a quantidade referida por (11.37). -
é o coeficiente estequiométrico líquido de na reação (número de prótons formados menos número consumido; pode ser positivo, negativo ou zero). -
é a constante dos gases e a temperatura absoluta. - Em pH
temos a concentração de prótons . - A relação entre logaritmo decimal e logaritmo natural:
. Dessa forma , que arredondamos para .
Passo 2
Relembrando (de forma didática) o que significa a definição de
usada aqui: quando se fixa a concentração de
(= pH fixo), as contribuições das atividades de
na constante de equilíbrio ou no quociente reacional ficam substituídas pelo valor numérico dessa concentração. Em termos algébricos, a diferença entre a energia livre padrão comum e a transformada aparece como um termo logarítmico envolvendo
elevado ao seu coeficiente estequiométrico. Assim, a forma que usaremos (equivalente ao que aparece em (11.37)) é
Aqui expliquei cada elemento:
- O termo
vem da relação geral entre energia livre e atividade/quociente de reação: . Fixando em aparece exatamente o fator indicado acima. - A potência
aparece porque a atividade de entra no quociente de reação elevada ao seu coeficiente estequiométrico.
Passo 3
Agora fazemos a substituição explícita de
na expressão do passo anterior e manipulamos o logaritmo passo a passo:
Usamos a propriedade de logaritmos
, assim
Como
, obtemos
Passo 4
Agora avaliamos numericamente o fator
. Usando
temos
Substituindo esse valor na expressão do passo anterior:
Isso é exatamente a igualdade que o enunciado pede para mostrar.