11.43 Mostre que \Delta G^{\circ \prime}=\Delta G^{\circ}-16,118 \nu\left(\mathrm{H}^{+}\right) R T, onde \Delta G^{\circ \prime} é definido por (11.37).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\Delta G^{\circ\prime}=\Delta G^{\circ}-16,118\,\nu\!\left(\mathrm{H}^{+}\right) R T,
onde está dito que \Delta G^{\circ\prime} é a quantidade definida por (11.37).
Informações relevantes que vamos usar (tudo explícito):
  • \Delta G^{\circ} é a energia livre padrão de Gibbs da reação (em condições padrão de concentração 1\\ \text{M} para solutos, pressão padrão para gases, etc.).
  • \Delta G^{\circ\prime} é a energia livre padrão transformada, isto é, a energia livre padrão quando a concentração de prótons é fixada em pH 7 (condição bioquímica padrão). Essa é a quantidade referida por (11.37).
  • \nu\!\left(\mathrm{H}^{+}\right) é o coeficiente estequiométrico líquido de \mathrm{H}^+ na reação (número de prótons formados menos número consumido; pode ser positivo, negativo ou zero).
  • R é a constante dos gases e T a temperatura absoluta.
  • Em pH 7 temos a concentração de prótons \left[\mathrm{H}^+\right]=10^{-7}\\ \text{M}.
  • A relação entre logaritmo decimal e logaritmo natural: \ln(10)\approx2,302585. Dessa forma 7\ln(10)\approx16,118095, que arredondamos para 16,118.

Passo 2

Relembrando (de forma didática) o que significa a definição de \Delta G^{\circ\prime} usada aqui: quando se fixa a concentração de \mathrm{H}^+ (= pH fixo), as contribuições das atividades de \mathrm{H}^+ na constante de equilíbrio ou no quociente reacional ficam substituídas pelo valor numérico dessa concentração. Em termos algébricos, a diferença entre a energia livre padrão comum e a transformada aparece como um termo logarítmico envolvendo \left[\mathrm{H}^+\right] elevado ao seu coeficiente estequiométrico. Assim, a forma que usaremos (equivalente ao que aparece em (11.37)) é
\Delta G^{\circ\prime}=\Delta G^{\circ}+RT\ln\!\bigl(\left[\mathrm{H}^+\right]^{\nu(\mathrm{H}^+)}\bigr).
Aqui expliquei cada elemento:
  • O termo RT\ln(\cdot) vem da relação geral entre energia livre e atividade/quociente de reação: \Delta G = \Delta G^\circ + RT\ln Q. Fixando \left[\mathrm{H}^+\right] em 10^{-7} aparece exatamente o fator indicado acima.
  • A potência \nu(\mathrm{H}^+) aparece porque a atividade de \mathrm{H}^+ entra no quociente de reação elevada ao seu coeficiente estequiométrico.

Passo 3

Agora fazemos a substituição explícita de \left[\mathrm{H}^+\right]=10^{-7} na expressão do passo anterior e manipulamos o logaritmo passo a passo:
\Delta G^{\circ\prime}=\Delta G^{\circ}+RT\ln\!\bigl((10^{-7})^{\nu(\mathrm{H}^+)}\bigr).
Usamos a propriedade de logaritmos \ln(a^b)=b\ln a, assim
\Delta G^{\circ\prime}=\Delta G^{\circ}+RT\;\nu(\mathrm{H}^+)\ln(10^{-7}).
Como \ln(10^{-7})=-7\ln(10), obtemos
\Delta G^{\circ\prime}=\Delta G^{\circ}-7\,\nu(\mathrm{H}^+)\,RT\ln(10).

Passo 4

Agora avaliamos numericamente o fator 7\ln(10). Usando \ln(10)\approx2,302585 temos
7\ln(10)\approx7\times2,302585\approx16,118095\approx16,118.
Substituindo esse valor na expressão do passo anterior:
\Delta G^{\circ\prime}=\Delta G^{\circ}-16,118\,\nu(\mathrm{H}^+)\,RT.
Isso é exatamente a igualdade que o enunciado pede para mostrar.

Resposta

\Delta G^{\circ \prime}=\Delta G^{\circ}-16,118\,\nu\!\left(\mathrm{H}^{+}\right) R T

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