11 Ache as coordenadas do ponto (3,4) relativas aos eixos coordenados que têm equações y=-2 x e y=2 x em coordenadas retangulares, usando as mesmas unidades em ambos os sistemas coordenados.

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do ponto (3,4) num sistema de eixos oblíquos cuja reta do eixo- x' é y=-2x e a reta do eixo- y' é y=2x. Vamos usar o conceito de coordenadas em base oblíqua: expressar o vetor posição de P=(3,4) como combinação linear de vetores unitários ao longo dessas retas.

Passo 2

Chamemos de e1 o vetor unitário ao longo de y=-2x e de e2 o vetor unitário ao longo de y=2x. Como vetores diretores dessas retas podemos tomar (1,-2) e (1,2). Para transformá-los em unitários dividimos pelo seu comprimento raiz1^2+2^2=raiz5:
e1 = (1,-2)raiz5, e2 = (1,2)raiz5

Passo 3

Procuramos escalares u,v tais que
(3,4) ;=; u,e1 ;+; v,e2 ;Longrightarrow; (3,4) ;=; u(1,-2)raiz5 ;+; v(1,2)raiz5
Multiplicando tudo por raiz5, obtemos
(3raiz5,;4raiz5) = (u+v,;-2u+2v)

Passo 4

Desse modo montamos o sistema
u + v = 3raiz5, -2u + 2v = 4raiz5
Dividindo a segunda equação por 2 fica
-u + v = 2raiz5.
Somando com a primeira:
(u+v) + (-u+v) = 3raiz5 + 2raiz5 ;Longrightarrow; 2v = 5raiz5 ;Longrightarrow; v = 5raiz52
Em seguida
u = 3raiz5 - v = 3raiz5 - 5raiz52 = raiz52

Resposta

As coordenadas de (3,4) no sistema oblíquo dado são
l(u,vr) = l(tfracraiz52,,tfrac5raiz52r),
onde u mede ao longo de y=-2x e v mede ao longo de y=2x.

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