1. O volume V de um tetraedro é um terço da distância de um vértice à face oposta vezes a área dessa face.
    (a) Determine uma fórmula para o volume do tetraedro em termos das coordenadas de seus vértices P, Q, R e S.
    (b) Encontre o volume do tetraedro cujos vértices são P(1,1,1), Q(1,2,3), R(1,1,2) e $S(3,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tetraedro em termos das coordenadas de seus vértices P,Q,R,S. O conteúdo aqui é geometria vetorial: vamos usar produto vetorial e produto escalar para escrever o volume como função das coordenadas, reconhecendo que ele é um sexto do valor absoluto do produto triplo (Q-P)times(R-P)cdot(S-P).

Passo 2

Primeiro, escolhemos a face triang<= PQR como base. A área dessa base é
ÁreaPQR = tfrac12l|(Q-P)times(R-P)r| Á
A altura relativa ao vértice S é a distância de S ao plano de PQR, dada por
h = l|(S-P)cdotl((Q-P)times(R-P)r)r||(Q-P)times(R-P)|
Como o volume de um tetraedro é tfrac13 base vezes altura, substituindo obtemos
V = 13;ÁreaPQR;h = 13;12|(Q-P)times(R-P)|;l|(S-P)cdot((Q-P)times(R-P))r||(Q-P)times(R-P)| = 16l|(S-P)cdotl((Q-P)times(R-P)r)r| Á
Reconhecemos o produto escalar de um produto vetorial como determinante, então a fórmula geral é
boxedV = 16l|detl[,Q-P,;R-P,;S-P,r]r|

Passo 3

Agora, para P(1,1,1), Q(1,2,3), R(1,1,2), S(3,-1,2) calculamos os vetores:
Q-P = (0,1,2), R-P = (0,0,1), S-P = (2,-2,1)

Passo 4

Vamos computar o determinante
D = det 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 2 & -2 & 1
Expandindo pela primeira coluna:
D = 0 cdotdet0&1-2&1 -0 cdotdet1&2-2&1 +2 cdotdet1&20&1 = 2,(1cdot1 - 2cdot0) = 2

Passo 5

O volume é
V = 16,|D| = 16cdot2 = 13

Resposta

(a) V = tfrac16l|det[,Q-P,;R-P,;S-P,]r|.
(b) V = tfrac13

Exercícios relacionados