O volume de um tetraedro é um terço da distância de um vértice à face oposta vezes a área dessa face.
(a) Determine uma fórmula para o volume do tetraedro em termos das coordenadas de seus vértices e .
(b) Encontre o volume do tetraedro cujos vértices são , e $S(3,-1,2).
Passo 1
O enunciado pede o volume de um tetraedro em termos das coordenadas de seus vértices . O conteúdo aqui é geometria vetorial: vamos usar produto vetorial e produto escalar para escrever o volume como função das coordenadas, reconhecendo que ele é um sexto do valor absoluto do produto triplo .
Passo 2
Primeiro, escolhemos a face como base. A área dessa base é
A altura relativa ao vértice S é a distância de S ao plano de PQR, dada por
h = l|(S-P)cdotl((Q-P)times(R-P)r)r||(Q-P)times(R-P)|
Como o volume de um tetraedro é tfrac13 base vezes altura, substituindo obtemos
V = 13;ÁreaPQR;h = 13;12|(Q-P)times(R-P)|;l|(S-P)cdot((Q-P)times(R-P))r||(Q-P)times(R-P)| = 16l|(S-P)cdotl((Q-P)times(R-P)r)r| Á
Reconhecemos o produto escalar de um produto vetorial como determinante, então a fórmula geral é
boxedV = 16l|detl[,Q-P,;R-P,;S-P,r]r|
Passo 3
Agora, para P(1,1,1), Q(1,2,3), R(1,1,2), S(3,-1,2) calculamos os vetores: