3 Seja S o conjunto de todos os vetores em V4(K) da forma que
(x, x+y, y, 2 x+3 y)
onde x, y in K. É S um subespaço de V4(K) ?

Passo 1

O enunciado define
S = (x,;x+y,;y,;2x+3y)mid x,yin K
e pergunta se S é um subespaço de V4(K). O conteúdo aqui é a teoria de subespaços vetoriais e, em especial, a caracterização de subespaço via geração linear (span).

Passo 2

Observe que um vetor genérico de S pode ser reescrito como
(x,;x+y,;y,;2x+3y) ;=; x,(1,1,0,2);+;y,(0,1,1,3)
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S = Spanl(1,1,0,2),;(0,1,1,3)r

Passo 3

Pelo fato de que o span (geração linear) de quaisquer vetores em V4(K) é sempre um subespaço (pois contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar), concluímos que
S
é de fato um subespaço de V4(K).

Resposta

Sim, S é um subespaço de V4(K).

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