1. Diga se cada expressão a seguir tem sentido. Se não, explique por quê. Se tiver, diga se é um vetor ou um escalar.
    (a) a cdot(b times c)
    (b) a times(b cdot c)
    (c) a times(b times c)
    (d) a cdot(b cdot c )
    (e) (a cdot b) times(c cdot d)
    (f) (a times b) cdot(c times d)

Passo 1

O enunciado nos dá várias expressões que combinam produto escalar ( cdot) e produto vetorial ( times) entre vetores a, b, c e d. Para cada expressão, devemos verificar se todas as operações estão sendo aplicadas a dois vetores (como exige a definição) e, se estiverem, dizer se o resultado é um escalar (quando o operador é cdot) ou um vetor (quando o operador é times).

Passo 2

Analisando acdot(btimesc): o produto vetorial btimesc é bem definido e produz um vetor; em seguida fazemos o produto escalar desse vetor com a, que também é bem definido e resulta em escalar. Logo, a expressão faz sentido e é um escalar.

Passo 3

Analisando atimes(bcdotc): primeiro bcdotc é escalar; tentar fazer atimes (esse escalar) não faz sentido porque o produto vetorial exige dois vetores. Portanto a expressão não faz sentido.

Passo 4

Analisando atimes(btimesc): o produto vetorial btimesc é vetor; em seguida atimes (esse vetor) é bem definido e retorna um vetor. Logo, a expressão faz sentido e é um vetor.

Passo 5

Analisando acdot(bcdotc): como antes, bcdotc é escalar, e não podemos fazer acdot (escala r) porque o produto escalar exige dois vetores. Portanto a expressão não faz sentido.

Passo 6

Analisando (acdotb)times(ccdotd): ambos acdotb e ccdotd são escalares, e não existe produto vetorial entre escalares. Logo, não faz sentido.

Passo 7

Analisando (atimesb)cdot(ctimesd): cada produto vetorial atimesb e ctimesd é vetor, e o produto escalar entre esses dois vetores é bem definido, resultando em escalar. Portanto, faz sentido e é escalar.

Resposta

(a) faz sentido e é escalar.
(b) não faz sentido (tenta aplicar times a um escalar).
(c) faz sentido e é vetor.
(d) não faz sentido (tenta aplicar cdot a um escalar).
(e) não faz sentido (tenta aplicar times a escalares).
(f) faz sentido e é escalar.

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