9.11 Uma aproximação para o perfil de velocidade em uma camadalimite laminar é
Esta expressãoo satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade de camada-limite laminar? Avalie
.
Passo 1
Beleza, amigo, então o exercício dá um “chute” para o perfil de velocidade na camada-limite laminar
e pede duas coisas:
- Ver se esse perfil satisfaz as condições de contorno da camada-limite (no-slip na parede, velocidade limite e gradiente zero no limite).
- Calcular as espessuras de deslocamento
e de momento , normalizadas por , ou seja e .
O conteúdo aqui é teoria de camada-limite laminar: conhecemos as condições de contorno e as fórmulas
Passo 2
Vamos conferir as condições de contorno:
- Na parede
o perfil dá
ou seja
dudy = ddetal(uUr)1de (no‐slip).
2) No limite da camada , defina
. Em
temos
2) No limite da camada
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(igual à velocidade externa).
3) Ainda em , o gradiente
3) Ainda em
ou seja, gradiente zero no limite. Portanto, todas as condições de contorno batem direitinho.
Passo 3
Agora
de .
Troca de variável integral0^1 1,deta =1, integral0^1 eta,deta =tfrac12, integral0^1 eta^3,deta =tfrac14 ,
de :
Troca de variável
Integramos termo a termo:
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Passo 4
Para
theta = integral0^de ,
Já vimos
integral0^1(u/U)^2deta =tfrac94cdottfrac13 - tfrac32cdottfrac15 + tfrac14cdottfrac17 = tfrac34 - tfrac310 + tfrac128 = tfrac105-42+5140 = tfrac68140 = tfrac1735approx0,4857 . Agora
Calculando cada parte:
,
,
,
Logo
Resposta
O perfil satisfaz as condições de contorno (no-slip,
boxedde e gradiente zero no limite).
As espessuras normalizadas são
As espessuras normalizadas são