9.11 Uma aproximação para o perfil de velocidade em uma camadalimite laminar é
uU=32 yde
Esta expressãoo satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade de camada-limite laminar? Avalie de.

Passo 1

Beleza, amigo, então o exercício dá um “chute” para o perfil de velocidade na camada-limite laminar
uU ;=;32,yde
e pede duas coisas:
  1. Ver se esse perfil satisfaz as condições de contorno da camada-limite (no-slip na parede, velocidade limite e gradiente zero no limite).
  2. Calcular as espessuras de deslocamento de e de momento , normalizadas por , ou seja e .
O conteúdo aqui é teoria de camada-limite laminar: conhecemos as condições de contorno e as fórmulas

Passo 2

Vamos conferir as condições de contorno:
  1. Na parede uU|y=0 = 32cdot0 - tfrac12cdot0 = 0, o perfil dá
uU|eta=1 = 32cdot1 - tfrac12cdot1^3 =1,
ou seja dudy = ddetal(uUr)1de (no‐slip).
2) No limite da camada , defina . Em temos
logo (igual à velocidade externa).
3) Ainda em , o gradiente
ou seja, gradiente zero no limite. Portanto, todas as condições de contorno batem direitinho.

Passo 3

Agora de.
Troca de variável integral0^1 1,deta =1, integral0^1 eta,deta =tfrac12, integral0^1 eta^3,deta =tfrac14 , de:
Integramos termo a termo:
Logo

Passo 4

Para theta = integral0^de,
integral0^1l(uUr)^2deta = integral0^1l(tfrac32eta - tfrac12eta^3r)^2deta = integral0^1l[tfrac94eta^2 - tfrac32eta^4 + tfrac14eta^6r]deta
Já vimos integral0^1(u/U)^2deta =tfrac94cdottfrac13 - tfrac32cdottfrac15 + tfrac14cdottfrac17 = tfrac34 - tfrac310 + tfrac128 = tfrac105-42+5140 = tfrac68140 = tfrac1735approx0,4857 . Agora
thetade
Calculando cada parte:
, , ,
Logo

Resposta

O perfil satisfaz as condições de contorno (no-slip, boxedde e gradiente zero no limite).
As espessuras normalizadas são

Exercícios relacionados