9.13 Um modelo simplificado para camada-limite laminar é
Esta expressão satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade de camada-limite laminar?Avalie .
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que temos um perfil de velocidade “falso” para camada‐limite laminar, dado por
O conteúdo é camada‐limite laminar e a gente vai precisar:
checar as condições de contorno (no‐slip em y=0, uto U em y=de, continuidade);
calcular a espessura de deslocamento de, com
de
calcular a espessura de momento theta, com
theta=integral0^de
Passo 2
Primeiro, teoria rápida das condições de contorno:
No‐slip na parede (y=0) exige u(0)=0.
Fora da camada‐limite (y=de) a velocidade vira a livre‐escala U, ou seja u(de.
Para não dar wiggle estranho no meio, o perfil tem que ser contínuo em y=de.
Vamos ver se bate:
Em y=0, no primeiro ramo, u/U=raiz2,(0)=0Rightarrow u=0.
Em y=de, no segundo ramo, u/U=(2-raiz2)cdot1+(raiz2-1)=1Rightarrow u=U.
Em y=de, primeiro ramo dá u/U=raiz2/2, segundo ramo também dá (2-raiz2)/2+(raiz2-1)=raiz2/2.
Ou seja, as condições de contorno estão OK (embora a derivada tenha salto em y=de, mas pra esse modelo simplificado a gente aceita).
Passo 3
Agora calculando a espessura de deslocamento
de
Fazendo as duas integrais dá, depois de simplificar,
de
Passo 4
Agora a espessura de momento
theta=integral0^de
com f2(y)=(2-raiz2)tfracyde.
Se resolver as contas (integração por partes simples em cada intervalo), encontra-se