1.11- Um balão sonda de formato esférico foi projetado para ter um diâmetro de 10 m a uma altitude de 45.000 m . Se a pressão e a temperatura nesta altitude são respectivamente 19600 Pa (abs) e -60^{\circ} \mathrm{C}, determinar o volume de hidrogênio a 98.000 Pa (abs) e 20^{\circ} \mathrm{C} necessário para encher o balão na Terra.

Passo 1

O enunciado dá um balão esférico de diâmetro de 10,m que, a 45\,000,m de altitude, estará submetido à pressão de 19600,Pa (abs) e à temperatura de -60^\circC. Na Terra, queremos saber o volume de hidrogênio a 98000,Pa (abs) e 20^\circC necessário para, uma vez levado à altitude, ocupar o volume projetado do balão. O conteúdo da matéria é a lei dos gases ideais e cálculo de volume de esfera.

Passo 2

Calcular o volume do balão na altitude usando a fórmula do volume de uma esfera. O raio é
r = \frac{10}{2} = 5\text{ m}.
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V_2 = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\,\pi\,(5)^3 \approx 523{,}6\text{ m}^3.

Passo 3

Converter as temperaturas para Kelvin e identificar as pressões e volumes iniciais e finais:
T_1 = 20^\circ\text{C} = 293{,}15\text{ K},\quad T_2 = -60^\circ\text{C} = 213{,}15\text{ K},
P_1 = 98000\text{ Pa},\quad P_2 = 19600\text{ Pa},\quad V_2 = 523{,}6\text{ m}^3,\quad V_1 = ?

Passo 4

Aplicar a lei dos gases ideais para quantidade fixa de mols, P_1V_1/T_1 = P_2V_2/T_2. Assim,
V_1 = \frac{P_2\,V_2\,T_1}{P_1\,T_2}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos na expressão de V_1:
V_1 = \frac{19600\cdot 523{,}6\cdot 293{,}15}{98000\cdot 213{,}15} \approx 144{,}1\text{ m}^3.

Resposta

O volume de hidrogênio necessário na Terra é aproximadamente 144{,}1\text{ m}^3.

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