1.7- A massa especifica da água a 20^{\circ} \mathrm{C} e à pressão atmosférica vale 998 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Calcular o valor da massa especifica de um volume de água que sofreu um acréscimo de pressão de 10^{8} \mathrm{~Pa}, mantendo-se a temperatura. Resolver usando as duas fórmulas.

Passo 1

O enunciado dá a massa específica da água a 20^\circ\mathrm{C} e pressão atmosférica como
\rho_1 = 998\\ \mathrm{kg/m^3}
e pede a massa específica \rho_2 ao aplicar um acréscimo de pressão
\Delta p = 10^8\\ \mathrm{Pa}
mantendo a temperatura constante.
Para relacionar variação de pressão e variação de densidade usamos o módulo de incompressibilidade (bulk modulus) K da água, definido por
K = -V\,\frac{dp}{dV}\quad\longrightarrow\quad \frac{dV}{V} = -\frac{dp}{K}.
Como \rho = m/V, temos
\frac{d\rho}{\rho} = -\frac{dV}{V} = \frac{dp}{K}.
Existem duas formas de usar esse relacionamento: a) fórmula linear aproximada para pequenas variações; b) fórmula exata obtida por integração.

Passo 2

Fórmula linear aproximada:
\frac{\Delta \rho}{\rho_1}\approx \frac{\Delta p}{K}
\rho_2^{(\text{lin})} \approx \rho_1\Bigl(1 + \frac{\Delta p}{K}\Bigr).
Adotando o valor típico
K = 2{,}2\times10^9\\ \mathrm{Pa}
calculamos
\frac{\Delta p}{K} = \frac{10^8}{2{,}2\times10^9} \approx 0{,}04545
\rho_2^{(\text{lin})} \approx 998\;\bigl(1 + 0{,}04545\bigr)\approx 998\times1{,}04545 \approx 1043{,}4\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 3

Fórmula exata por integração de \displaystyle \frac{d\rho}{\rho} = \frac{dp}{K}.
Integrando de \rho_1 a \rho_2 e de p_1 a p_1+\Delta p, obtemos
\ln\!\Bigl(\frac{\rho_2}{\rho_1}\Bigr) = \int_{p_1}^{p_1+\Delta p}\frac{dp}{K} = \frac{\Delta p}{K} \quad\Longrightarrow\quad \rho_2^{(\text{ex})} = \rho_1\;\exp\!\Bigl(\frac{\Delta p}{K}\Bigr).
Substituindo,
\rho_2^{(\text{ex})} = 998\;\exp\!\bigl(0{,}04545\bigr) \approx 998\times1{,}0465 \approx 1044{,}4\\ \mathrm{kg/m^3}.

Resposta

Fórmula linear aproximada:
\rho_2^{(\text{lin})}\approx 1043{,}4\\ \mathrm{kg/m^3}.
Fórmula exata por integração:
\rho_2^{(\text{ex})}\approx 1044{,}4\\ \mathrm{kg/m^3}.

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