3.6- Demonstrar que a equação fundamental da estática dos fluidos \frac{d P}{d Z}=-\gamma, pode ser deduzida diretamente da equação geral da Física \vec{f}=-\vec{\nabla} \varphi, onde f é uma força por unidade de volume e \varphi um campo escalar, que no caso seria o campo de pressões dentro da massa fluida.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação fundamental da estática dos fluidos
\frac{dP}{dZ} = -\gamma
pode ser obtida diretamente da equação geral
\vec{f} = -\nabla \varphi,
onde \vec{f} é a força por unidade de volume e \varphi é um campo escalar. Aqui \varphi será o campo de pressões P dentro do fluido, e a força por unidade de volume é o peso do fluido.

Passo 2

Na formulação geral temos
\vec{f} = -\nabla\varphi.
Identificamos \varphi = P, o campo de pressão, e \vec{f} como a densidade de força peso por volume, que chamamos de \gamma (peso específico) vezes a direção de Z. Logo
\vec{f} = -\nabla P.

Passo 3

Em estática só atua o peso do fluido. Se escolhermos o eixo Z apontando para baixo (no mesmo sentido da gravidade), então a única componente de \vec{f} é
f_{Z} = \gamma,
e f_{x}=f_{y}=0. A equação vetorial \vec{f} = -\nabla P passa a ser, na componente Z,
f_{Z} = -\frac{\partial P}{\partial Z}.

Passo 4

Substituindo f_{Z}=\gamma na relação anterior, obtemos
\gamma = -\frac{\partial P}{\partial Z} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial Z} = -\gamma.
Como a pressão varia somente com Z, podemos trocar derivada parcial por derivada total e chegamos à forma pedida.

Resposta

\frac{dP}{dZ} = -\gamma

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