1.12- Deseja-se ensaiar um longo conduto circular, para uma pressão de 3,9 \mathrm{MPa}. Enche-se primeiro o conduto com água a pressão atmosférica, tapam-se suas extremidades e obriga-se a entrar mais água por meio de uma bomba, até conseguir-se a pressão proposta para o ensaio. Supondo que o conduto não se dilate longitudinalmente, calcular a quantidade (massa) de água introduzida pela bomba.
Dados: comprimento do tubo 2.500 m
diâmetro interno 0,55 \mathrm{~m}
espessura da parede (e) 1,4 \mathrm{~cm}
módulo de compressibilidade volumétrica da água (K) 2,0610^{9} \mathrm{~Pa}
módulo de elasticidade do tubo (E) 20610^{9} \mathrm{~Pa}

Passo 1

O enunciado pede a massa de água que a bomba deve injetar num tubo cilíndrico fechado de comprimento L=2500,m e diâmetro interno d=0,55,m, para elevar a pressão interna de p_0\approx0 (atmosférica) até \Delta p=3{,}9,MPa. A água tem módulo de compressibilidade volumétrica K=2{,}06\times10^9,Pa e o tubo tem módulo de Young E=206\times10^9,Pa. Supondo que o tubo não alongue \varepsilon_z=0, precisamos computar:
  1. o volume inicial de água V_0,
  2. a redução de volume da água \Delta V_w pela compressibilidade,
  3. o aumento de volume interno \Delta V_t devido à expansão radial do tubo,
  4. a massa injetada \Delta m.

Passo 2

O volume interno inicial é
V_0 = \frac{\pi d^2}{4}\,L = \frac{\pi(0,55)^2}{4}\times2500 \approx 593{,}7\\ \mathrm{m}^3.

Passo 3

Pela compressibilidade, a água sofre variação de volume
\Delta V_w = -\,V_0\,\frac{\Delta p}{K} = -\,593{,}7\;\frac{3{,}9\times10^6}{2{,}06\times10^9} \approx -1{,}123\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

Para o tubo, sob pressão interna p=\Delta p, o esforço circunferencial (hoop) é
\sigma_\theta = \frac{p\,r}{e},
com r=d/2=0,275,m e parede e=0,014,m. Como \varepsilon_z=0, temos \sigma_z = \nu\,\sigma_\theta. Assumindo \nu=0{,}30 (aço típico), a deformação hoop é
\varepsilon_\theta = \frac{\sigma_\theta - \nu\,\sigma_z}{E} = \frac{\sigma_\theta(1-\nu^2)}{E}.
O volume interno aumenta aproximadamente \Delta V_t=V_0\cdot2\,\varepsilon_\theta. Numericamente,
\sigma_\theta = \frac{3{,}9\times10^6\cdot0,275}{0,014} \approx7{,}66\times10^7\\ \mathrm{Pa},
\varepsilon_\theta \approx \frac{7{,}66\times10^7\,(1-0,30^2)}{2{,}06\times10^{11}} \approx3{,}385\times10^{-4},
\Delta V_t =593{,}7\cdot2\cdot3{,}385\times10^{-4} \approx0{,}402\\ \mathrm{m}^3.

Passo 5

A massa de água injetada \Delta m viene da soma do volume compensado pela compressibilidade e do volume ganho pelo tubo, multiplicado pela densidade inicial \rho_0\approx1000,kg/ m^{3}:
\Delta m = \rho_0\bigl(-\Delta V_w + \Delta V_t\bigr) =1000\bigl(1{,}123+0{,}402\bigr) \approx1{,}525\times10^3\\ \mathrm{kg}.

Resposta

A bomba deve introduzir aproximadamente 1{,}5\times10^3,kg de água.

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