11 ^ a Calcule, usando a definição, a derivada da função f(x)=51-2 x.
Calcule esta derivada, usando as regras de derivação, e encontre a equação da reta tangente à curva y=51-2 x no ponto (-2,1)
12 ^ a Calcule, se possível, f^prime(2) da função f(x)=l2 x+3, se x <= 2 2 x^2-1, se x>2.

Passo 1

O enunciado 11ª pede para calcular a derivada de f(x)=51-2x usando a definição de derivada e conferi-la pelas regras usuais, e depois encontrar a reta tangente à curva y=51-2x no ponto (-2,1). O item 12ª pede para calcular, se possível, f'(2) de uma função definida por partes. Vamos usar definição de derivada por limite, regra da cadeia e potência, e no caso por partes verificar as derivadas laterais e a continuidade.

Passo 2

Aplicando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
onde
f(x+h)=51-2(x+h)=51-2x-2h
Então
f(x+h)-f(x)h =51-2x-2h-51-2xh =5cdot(1-2x)-(1-2x-2h)h,(1-2x-2h),(1-2x) =5cdot2hh,(1-2x-2h),(1-2x) =10(1-2x-2h),(1-2x)
Fazendo hto0, obtemos
f'(x)=10(1-2x)^2

Passo 3

Para conferir pelas regras, escrevemos
f(x)=5,(1-2x)^-1
Pela regra da cadeia e potência,
f'(x) =5cdot(-1),(1-2x)^-2cdot(-2) =10,(1-2x)^-2 =10(1-2x)^2

Passo 4

O coeficiente angular da reta tangente em (-2,1) é
m=f'(-2)=10l(1-2(-2)r)^2 =10(1+4)^2 =1025 =25
A equação da reta tangente vem de
y-y0=m,(x-x0)
Substituindo (x0,y0)=(-2,1) e m=tfrac25,
y-1=25(x+2) Longrightarrow y=25x+45+1 =25x+95

Passo 5

Para o item 12ª, a função é
f(x)= 2x+3, & x<=2, 2x^2-1, & x>2
Para existir f'(2), é preciso que f seja contínua em 2 e que as derivadas laterais coincidam.

Passo 6

Verificamos a continuidade em x=2:
f(2)=2cdot2+3=7, limxto2^+f(x)=2cdot2^2-1=7,
logo f é contínua em 2.

Passo 7

Calculamos as derivadas laterais:
para x<2, f(x)=2x+3
f'-(2)=2;
para x>2, f(x)=2x^2-1
f'+(2)=ddx(2x^2-1)|x=2=4cdot2=8
Como f'-(2)neq f'+(2), concluímos que f'(2) não existe.

Resposta

11ª)
f'(x)=10(1-2x)^2,
e a reta tangente em (-2,1) é
y=25x+95
12ª)
f'(2) não existe, pois as derivadas laterais são 2 e 8, distintas.

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