Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
integral arccos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral arccos(2x),dx
usando o método de integração por partes. A fórmula geral é
integral u,dv = u,v - integral v,du
Aqui vamos escolher u e dv de forma a facilitar a integral restante.

Passo 2

Fazemos
u = arccos(2x), dv = dx
Então
du = ddxl[arccos(2x)r],dx = -2raiz1-(2x)^2,dx = -2raiz1-4x^2,dx,
e
v = integral dv = integral dx = x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes,
integral arccos(2x),dx = u,v - integral v,du = x,arccos(2x) - integral xl(-2raiz1-4x^2r),dx = x,arccos(2x) +2integral xraiz1-4x^2,dx

Passo 4

Para calcular
integral xraiz1-4x^2,dx,
fazemos a substituição t = 1-4x^2, o que dá dt = -8x,dx, ou seja x,dx = -tfrac18dt. Logo,
integral xraiz1-4x^2,dx = integral -18,t^-tfrac12,dt = -18cdot 2,t^tfrac12 = -14raizt = -14raiz1-4x^2

Passo 5

Voltando à expressão principal,
integral arccos(2x),dx = x,arccos(2x) +2l(-tfrac14raiz1-4x^2r) = x,arccos(2x) -tfrac12raiz1-4x^2 + C

Resposta

integral arccos(2x),dx = x,arccos(2x) -12raiz1-4x^2 + C

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