Calcule, se possível, f^prime(2) da função f(x)=l2 x+3, se x <= 2 2 x^2-1, se x>2.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 2x+3, & x<=2, 2x^2-1, & x>2,
e pede f'(2). Para que exista a derivada em um ponto de quebra, precisamos verificar (i) se f é contínua em x=2 e (ii) se as derivadas laterais em 2 coincidem.

Passo 2

Verificamos a continuidade em x=2.
Pela definição em x<=2:
f(2)=2cdot2+3=7
Pelo ramo de x>2, o limite em 2 é
limxto2^+f(x)=2cdot2^2-1=8-1=7
Como ambos dão 7, f é contínua em x=2.

Passo 3

Calculamos a derivada lateral pela esquerda. Para x<2 vale f(x)=2x+3, cuja derivada é
f'(x)=2
Logo
limxto2^-f'(x)=2

Passo 4

Calculamos a derivada lateral pela direita. Para x>2 vale f(x)=2x^2-1, cuja derivada é
f'(x)=4x
Logo
limxto2^+f'(x)=4cdot2=8

Passo 5

Como as derivadas laterais em x=2 são diferentes ( 2neq8 ), a derivada f'(2) não existe.

Resposta

A derivada f'(2) não existe.

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