e pede f'(2). Para que exista a derivada em um ponto de quebra, precisamos verificar (i) se f é contínua em x=2 e (ii) se as derivadas laterais em 2 coincidem.
Passo 2
Verificamos a continuidade em x=2.
Pela definição em x<=2:
f(2)=2cdot2+3=7
Pelo ramo de x>2, o limite em 2 é
limxto2^+f(x)=2cdot2^2-1=8-1=7
Como ambos dão 7, f é contínua em x=2.
Passo 3
Calculamos a derivada lateral pela esquerda. Para x<2 vale f(x)=2x+3, cuja derivada é
f'(x)=2
Logo
limxto2^-f'(x)=2
Passo 4
Calculamos a derivada lateral pela direita. Para x>2 vale f(x)=2x^2-1, cuja derivada é
f'(x)=4x
Logo
limxto2^+f'(x)=4cdot2=8
Passo 5
Como as derivadas laterais em x=2 são diferentes ( 2neq8 ), a derivada f'(2)não existe.