(1,0) Scja f: R R uma função crescente e limitada. Se definirmos an=f(e^m), para cada n in N, entảo a sequência (an) é convergente? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que fcolon RtoR é crescente (isto é, se x<y então f(x)<= f(y)) e limitada (existe um número M tal que |f(x)|<= M para todo x). Definimos a sequência
an=fl(e^nr), ninN,
e queremos saber se l(anr) é convergente.

Passo 2

Como f é crescente e limitada superiormente, o conjunto f(x)colon xinR tem supremo finito. Definimos
L=supf(x)colon xinR
Há um resultado clássico de análise que garante
limxto+inftyf(x)=L,
pois toda função monótona limitada converge ao supremo quando o argumento tende a +infty.

Passo 3

Observamos que e^nto+infty quando ntoinfty. Pela propriedade de composição de limites, temos
limntoinftyan =limntoinftyfl(e^nr) =limxto+inftyf(x) =L
Logo l(anr) converge e seu limite é L.

Passo 4

Alternativamente, note que nmapsto e^n é crescente, logo an=f(e^n) também é crescente, e como f é limitada, l(anr) é uma sequência monótona crescente e limitada acima. Pelo Teorema da Convergência Monótona de sequências, concluímos novamente que l(anr) converge, e o limite é sup an=L.

Resposta

Sim. A sequência l(anr) converge, e
limntoinftyan =L =supf(x)colon xinR

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