Scja
uma função crescente e limitada. Se definirmos
, para cada
, entảo a sequência
é convergente? Justifique.
Passo 1
O enunciado diz que
é crescente (isto é, se
então
) e limitada (existe um número
tal que
para todo
). Definimos a sequência
e queremos saber se
é convergente.
Passo 2
Como
é crescente e limitada superiormente, o conjunto
tem supremo finito. Definimos
Há um resultado clássico de análise que garante
pois toda função monótona limitada converge ao supremo quando o argumento tende a
.
Passo 3
Observamos que
quando
. Pela propriedade de composição de limites, temos
Logo
converge e seu limite é
.
Passo 4
Alternativamente, note que
é crescente, logo
também é crescente, e como
é limitada,
é uma sequência monótona crescente e limitada acima. Pelo Teorema da Convergência Monótona de sequências, concluímos novamente que
converge, e o limite é
.
Resposta
Sim. A sequência
converge, e