4.11 Calcule a variação de entropia molar quando uma amostra de argônio for comprimida de 2,0 \mathrm{dm}^{3} para 500 \mathrm{~cm}^{3} e, simultaneamente, aquecida de 300 K para 400 K . Considere C_{V, m}=\frac{3}{2} R.

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia molar \Delta S_{m} ao comprimir um gás ideal (argônio) de V_{1}=2,0\;\mathrm{dm}^{3} para V_{2}=500\;\mathrm{cm}^{3} e simultaneamente aquecê-lo de T_{1}=300\;\mathrm{K} para T_{2}=400\;\mathrm{K}. O conteúdo é termodinâmica de gases ideais, usando a expressão diferencial de entropia para processo irrestrito e reversível.

Passo 2

Para um gás ideal monoatômico, a variação de entropia molar em um processo reversível é dada por
dS_{m}=C_{V,m}\,\frac{dT}{T}+R\,\frac{dV}{V}
onde C_{V,m} é a capacidade calorífica molar a volume constante e R a constante dos gases.

Passo 3

Integrando de (T_{1},V_{1}) até (T_{2},V_{2}) resulta
\Delta S_{m} =\int_{T_{1}}^{T_{2}}C_{V,m}\,\frac{dT}{T} +\int_{V_{1}}^{V_{2}}R\,\frac{dV}{V} =C_{V,m}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}+R\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}.

Passo 4

Convertendo volumes à mesma unidade, V_{1}=2,0\;\mathrm{dm}^{3}=2000\;\mathrm{cm}^{3} e V_{2}=500\;\mathrm{cm}^{3}, obtemos
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{500}{2000}=0,25, \quad \frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{400}{300}=\frac{4}{3}.

Passo 5

Substituindo C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R na expressão de \Delta S_{m}:
\Delta S_{m} =\frac{3}{2}R\ln\frac{4}{3}+R\ln(0,25).
Usando R=8,314\;\mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}} e calculando numericamente:
\frac{3}{2}R\ln\frac{4}{3}\approx12{,}471\times0{,}2877\approx3{,}59\;\mathrm{J/K}
R\ln(0,25)\approx8{,}314\times(-1{,}3863)\approx-11{,}53\;\mathrm{J/K}
\Delta S_{m}\approx3{,}59-11{,}53=-7{,}94\;\mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Resposta

\Delta S_{m}\approx-7,94\;\mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}

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