4.12 Um gás perfeito monoatômico, a uma temperatura T_{i}, se expande isotermicamente até atingir o dobro do seu volume inicial. A que temperatura ele deve ser resfriado para fazer com que a sua entropia volte ao valor inicial? Considere C_{V, \mathrm{~m}}=\frac{3}{2} R.

Passo 1

O enunciado diz que um gás perfeito monoatômico, inicialmente na temperatura T_i e volume V_i, sofre uma expansão isotérmica até V_f=2V_i. Em seguida queremos resfriá-lo de modo que sua entropia retorne ao valor inicial. O conteúdo usado será a definição de variação de entropia de um gás ideal:
– Em processo isotérmico: \Delta S = nR\ln\frac{V_f}{V_i}.
– Em processo a volume constante: \Delta S = nC_{V,m}\ln\frac{T_f}{T_i}.

Passo 2

Na expansão isotérmica de V_i para 2V_i mantendo T=T_i, a variação de entropia é
\Delta S_1 = nR\ln\frac{V_f}{V_i} = nR\ln 2.

Passo 3

Como entropia é função de estado, para voltar ao valor inicial precisamos de \Delta S_2 = -\Delta S_1 = -\,nR\ln 2. Escolhemos um resfriamento reversível a volume constante V_f, para o qual
\Delta S_2 = nC_{V,m}\ln\frac{T_f}{T_i}.

Passo 4

Igualando as duas variações de entropia,
nC_{V,m}\ln\frac{T_f}{T_i} = -\,nR\ln 2.
Como C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R, divide-se por nR e obtém-se
\ln\frac{T_f}{T_i} = -\frac{R}{C_{V,m}}\ln 2 = -\frac{R}{\tfrac{3}{2}R}\ln 2 = -\frac{2}{3}\ln 2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{T_f}{T_i} = 2^{-2/3}.

Resposta

T_f = T_i\,2^{-\tfrac{2}{3}}.

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