4.13 Em uma certa máquina cíclica (tecnicamente, um ciclo de Carnot), um gás perfeito se expande isotérmica e reversivelmente e, então, adiabática (q=0) e reversivelmente. Na etapa de expansão adiabática, a temperatura diminui. Ao fim da etapa de expansão, a amostra é comprimida reversivelmente, primeiro isotermicamente e então adiabaticamente, de tal modo que no final ela alcança o volume e a temperatura iniciais. Faça um gráfico da entropia contra a temperatura para o ciclo inteiro.

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo de Carnot usando um gás perfeito, composto por quatro etapas reversíveis:
  1. Expansão isotérmica em T=T_H,
  2. Expansão adiabática até T=T_C,
  3. Compressão isotérmica em T=T_C,
  4. Compressão adiabática retornando a T_H.
    O que se pede é o diagrama de entropia S em função da temperatura T.

Passo 2

Expansão isotérmica em T=T_H: nesse processo entra calor Q_H>0 e
\Delta S = \frac{Q_H}{T_H}>0.
No diagrama com T no eixo horizontal e S no vertical, a temperatura permanece T_H enquanto S aumenta de S_1 para S_2. Isso corresponde a uma reta vertical para cima em T=T_H.

Passo 3

Expansão adiabática reversível: aqui q=0 implica
\Delta S = 0.
Portanto S fica constante em S_2 enquanto T decresce de T_H até T_C. No diagrama, é uma reta horizontal da abscissa T_H até T_C no nível S=S_2.

Passo 4

Compressão isotérmica em T=T_C: sai calor Q_C<0 e
\Delta S = \frac{Q_C}{T_C}<0.
Assim S cai de S_2 para S_1 mantendo T=T_C. No diagrama, é uma reta vertical para baixo em T=T_C.

Passo 5

Compressão adiabática reversível final: de novo q=0 e \Delta S=0.
Logo S permanece S_1 enquanto T sobe de T_C até T_H. No diagrama, é uma reta horizontal de T_C a T_H em S=S_1, fechando o ciclo.

Resposta

O diagrama S versus T forma um retângulo cujos lados são:
  • vertical ascendente em T=T_H de S_1 a S_2,
  • horizontal à esquerda em S=S_2 de T_H a T_C,
  • vertical descendente em T=T_C de S_2 a S_1,
  • horizontal à direita em S=S_1 de T_C a T_H.

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