1.9.6 Trabalho Realizado Por uma Força Variável
Suponhamos que um objeto se desloca sobre um eixo
e esteja sujeito a uma força variável
. Sem perda de generalidade, seja
o eixo das abcissas. Suponhamos que
seja uma função contínua em
.
Queremos definir o trabalho realizado pela força
sobre o objeto, quando este se desloca de
até
, com
.
Passo 1
O enunciado pede para definir o trabalho realizado por uma força variável
ao deslocar um objeto do ponto
até
ao longo do eixo das abcissas. O conteúdo central é o conceito de soma de Riemann e integral definida: vamos aproximar o trabalho por somas de pequenas parcelas e, em seguida, passar ao limite, obtendo uma integral.
Passo 2
Dividimos o intervalo
em
subintervalos por meio de uma partição
Em cada subintervalo
, escolhemos um ponto
. O deslocamento nesse trecho é
, e aproximamos a força como constante igual a
. Logo, o trabalho aproximado no
-ésimo trecho é
Passo 3
Somando todas as contribuições parciais, obtemos a soma de Riemann
Como
é contínua em
, ao fazermos
e a malha ficar cada vez mais fina (
), essa soma converge para a integral definida de
de
até
.
Passo 4
No limite, a definição de trabalho
torna-se a integral