1.9.6 Trabalho Realizado Por uma Força Variável

Suponhamos que um objeto se desloca sobre um eixo L e esteja sujeito a uma força variável F. Sem perda de generalidade, seja L o eixo das abcissas. Suponhamos que F=F(x) seja uma função contínua em [a, b].
Queremos definir o trabalho realizado pela força F sobre o objeto, quando este se desloca de x=a até x=b, com a<b.

Passo 1

O enunciado pede para definir o trabalho realizado por uma força variável F(x) ao deslocar um objeto do ponto x=a até x=b ao longo do eixo das abcissas. O conteúdo central é o conceito de soma de Riemann e integral definida: vamos aproximar o trabalho por somas de pequenas parcelas e, em seguida, passar ao limite, obtendo uma integral.

Passo 2

Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos por meio de uma partição
a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b
Em cada subintervalo [x_{i-1},x_i], escolhemos um ponto \xi_i. O deslocamento nesse trecho é \Delta x_i = x_i - x_{i-1}, e aproximamos a força como constante igual a F(\xi_i). Logo, o trabalho aproximado no i-ésimo trecho é
\Delta W_i \approx F(\xi_i)\,\Delta x_i.

Passo 3

Somando todas as contribuições parciais, obtemos a soma de Riemann
\sum_{i=1}^{n}F(\xi_i)\,\Delta x_i.
Como F é contínua em [a,b], ao fazermos n\to\infty e a malha ficar cada vez mais fina ( \max\Delta x_i\to0), essa soma converge para a integral definida de F de a até b.

Passo 4

No limite, a definição de trabalho W torna-se a integral
W = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}F(\xi_i)\,\Delta x_i = \int_{a}^{b}F(x)\,\mathrm{d}x.

Resposta

W = \int_{a}^{b}F(x)\,\mathrm{d}x.

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