11^circ ) Determine a diferencial total de primeira ordem de:
b) w=e^x y-4 x z+y z

Passo 1

O enunciado pede a diferencial total de primeira ordem da função
w = e^x y ;-; 4 x z ;+; y z
O conteúdo envolvido é o de diferencial total, que consiste em calcular as derivadas parciais de w em relação a x, y e z e depois combiná-las com os diferenciais dx, dy e dz.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de w em relação a x.
Usamos que
  • partialpartial xe^x y = y,e^x y (regra da cadeia),
  • partialpartial x(-4xz) = -4z,
  • partialpartial x(yz)=0.
    Logo,
partial wpartial x = y,e^x y ;-; 4,z

Passo 3

Calcular a derivada parcial de w em relação a y.
Usamos que
  • partialpartial ye^x y = x,e^x y,
  • partialpartial y(-4xz)=0,
  • partialpartial y(yz)=z.
    Logo,
partial wpartial y = x,e^x y ;+; z

Passo 4

Calcular a derivada parcial de w em relação a z.
Usamos que
  • partialpartial ze^x y=0,
  • partialpartial z(-4xz)=-4x,
  • partialpartial z(yz)=y.
    Portanto,
partial wpartial z = -4,x ;+; y

Passo 5

Agora montamos a diferencial total de primeira ordem:
dw = partial wpartial x,dx + partial wpartial y,dy + partial wpartial z,dz

Resposta

dw = l(y,e^x y - 4zr),dx + l(x,e^x y + zr),dy + l(y - 4xr),dz

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