Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=2^infty (-3)^n+12^3 n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
sumn=2^infty (-3)^n+12^3n
O conteúdo é séries infinitas, mais precisamente série geométrica, e vamos precisar reconhecer a razão e aplicar o critério da série geométrica.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = (-3)^n+12^3n
Podemos reescrevê-lo como
an = (-3);(-3)^n8^n = (-3)l(-tfrac38r)^n
Isto mostra que a série tem a forma de uma série geométrica com coeficiente inicial A=-3 e razão
q = -tfrac38

Passo 3

Para uma série geométrica sum A,q^n, a convergência acontece se, e somente se, lvert qrvert<1. Aqui
lvert qrvert = llvert -tfrac38rrvert = tfrac38<1,
logo a série converge absolutamente.

Passo 4

Como a série converge, podemos calcular sua soma. Para n de 2 a infty, a soma é
S = sumn=2^inftyA,q^n = A,q^21-q = (-3),l(-tfrac38r)^21 - l(-tfrac38r) = (-3),tfrac9641 + tfrac38 = (-3),tfrac964tfrac118 = -3 times 964times811 = -2788

Resposta

A série converge absolutamente e
sumn=2^infty(-3)^n+12^3n = -2788

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