) Diz-se que (
) é um sequência de Cauchy quando, para todo
existe
tal que
.
a) Prove que toda sequência de Cauchy é limitada.
b) Prove que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência distintos.
c) Prove que uma sequência
é convergente se, somente se, é de Cauchy.
) Seja a sequência (
) definida por e
, com
, isto é,
, para
positivos.
a) Mostre que (
) é crescente, limitada superiormente e, portanto convergente.
b) Calcule
a) Prove que toda sequência de Cauchy é limitada.
b) Prove que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência distintos.
c) Prove que uma sequência
a) Mostre que (
b) Calcule
Passo 1
O enunciado divide-se em duas partes. Na Parte
definimos sequência de Cauchy em
e pedem:
a) provar que toda sequência de Cauchy é limitada,
b) provar que não pode ter dois valores de aderência distintos,
c) provar que em sequência é convergente se, e somente se, é de Cauchy.
Para isso precisaremos usar a definição de Cauchy, desigualdade triangular, o Teorema de Bolzano-Weierstrass (que garante subsequências convergentes em sequências limitadas) e a completude de .
a) provar que toda sequência de Cauchy é limitada,
b) provar que não pode ter dois valores de aderência distintos,
c) provar que em
Para isso precisaremos usar a definição de Cauchy, desigualdade triangular, o Teorema de Bolzano-Weierstrass (que garante subsequências convergentes em sequências limitadas) e a completude de
Na Parte
consideramos a sequência real dada por
com
satisfazendo
. Precisamos mostrar que
é crescente, limitada superiormente e, portanto, convergente, e então calcular seu limite. Vamos usar indução, propriedades de funções monotônicas e a caracterização de limite de sequência monotônica limitada.
Passo 2
Prova de (
-a): toda sequência de Cauchy
é limitada.
Seja . Como
é Cauchy, existe
tal que, para todo
,
Seja
Em particular, para todo
, tomando
obtemos
Logo todos os termos a partir de
estão no intervalo
com
. Como os primeiros
termos são finitos, existe
tal que
para todo
. Portanto
é limitada.
Passo 3
Prova de (
-b): uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência
.
Suponha, por absurdo, que existam subsequências e
com
. Defina
.
. Como
, existe
tal que, para
,
.
. Como
, existe
tal que, para
,
.
. Como a sequência é Cauchy, existe
tal que, para quaisquer índices maiores que
,
.
Suponha, por absurdo, que existam subsequências
Escolha
tal que
e
. Então
o que é impossível. Logo não podem existir dois aderentes distintos.
Passo 4
Prova de (
-c): em
,
é convergente se, e somente se, é de Cauchy.
Direção direta (convergente
Cauchy):
Se , dado
, existe
tal que, para todo
,
. Então, para
,
Se
logo é Cauchy.
Direção recíproca (Cauchy
convergente):
Pela parte (a) é limitada. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass tem-se uma subsequência
. Como
é Cauchy, dado
existe
tal que, para todo
,
. Seja
grande o suficiente com
e
. Para qualquer
, temos
Pela parte (a)
Assim
.
Passo 5
Agora a Parte
, sequência
com
e
. Definimos
como solução de
isto é,
. Como
, a raiz positiva é
Mostraremos monotonicidade e limitação superior em relação a
.
Passo 6
Monotonicidade crescente por indução.
Base : pelo dado
segue
.
Passo indutivo: suponha e
. Como
e
, temos
Base
Passo indutivo: suponha
Assim
. Logo
é crescente.
Passo 7
Limitação superior por indução.
Base : se
então
pois
; se
então
implica
.
Passo indutivo: suponha . Então
Base
Passo indutivo: suponha
pois
. Logo
. Assim
é limitada por
.
Passo 8
Como
é crescente e limitada, converge. Seja
. Pelafunção contínua
obtemos
ou seja
. A única solução não negativa é