11^circ ) Diz-se que ( xn ) é um sequência de Cauchy quando, para todo epsilon>0 existe n0 in N tal que m, n>n0 Rightarrow|xm-xn|<epsilon.
a) Prove que toda sequência de Cauchy é limitada.
b) Prove que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência distintos.
c) Prove que uma sequência (xn) é convergente se, somente se, é de Cauchy.
12^circ ) Seja a sequência ( xn ) definida por e xn+1=raizxn+b, com x1^2<x1+b, isto é, a^2<a+b, para a, b positivos.
a) Mostre que ( xn ) é crescente, limitada superiormente e, portanto convergente.
b) Calcule lim xn

Passo 1

O enunciado divide-se em duas partes. Na Parte 11circ definimos sequência de Cauchy em R e pedem:
a) provar que toda sequência de Cauchy é limitada,
b) provar que não pode ter dois valores de aderência distintos,
c) provar que em R sequência é convergente se, e somente se, é de Cauchy.
Para isso precisaremos usar a definição de Cauchy, desigualdade triangular, o Teorema de Bolzano-Weierstrass (que garante subsequências convergentes em sequências limitadas) e a completude de R.
Na Parte 12circ consideramos a sequência real dada por
xn+1 ;=;raizxn + b,
com a=x1>0 satisfazendo a^2<a+b. Precisamos mostrar que xn é crescente, limitada superiormente e, portanto, convergente, e então calcular seu limite. Vamos usar indução, propriedades de funções monotônicas e a caracterização de limite de sequência monotônica limitada.

Passo 2

Prova de ( 11circ-a): toda sequência de Cauchy xn é limitada.
Seja epsilon=1. Como xn é Cauchy, existe N0inN tal que, para todo m,n>N0,
|xm - xn| < 1
Em particular, para todo n>N0, tomando m = N0+1 obtemos
|xn - xN0+1| < 1 Longrightarrow |xn| <= |xN0+1| + 1
Logo todos os termos a partir de N0+1 estão no intervalo l[-M,Mr] com M = |xN0+1|+1. Como os primeiros N0 termos são finitos, existe
R = maxl|x1|,dots,|xN0|,Mr
tal que |xn|<= R para todo n. Portanto xn é limitada.

Passo 3

Prova de ( 11circ-b): uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência aneq b.
Suponha, por absurdo, que existam subsequências xnkto a e xmkto b com aneq b. Defina epsilon = |a-b|3>0.
1. Como xnkto a, existe K1 tal que, para k>K1, |xnk-a|<epsilon.
2. Como xmkto b, existe K2 tal que, para k>K2, |xmk-b|<epsilon.
3. Como a sequência é Cauchy, existe N0 tal que, para quaisquer índices maiores que N0, |xp - xq|<epsilon.
Escolha k tal que nk,mk>N0 e k>maxK1,K2. Então
|a-b| ;=; |a - xnk + xnk - xmk + xmk - b| ;<=; |a - xnk| + |xnk-xmk| + |xmk-b| < epsilon + epsilon + epsilon = |a-b|,
o que é impossível. Logo não podem existir dois aderentes distintos.

Passo 4

Prova de ( 11circ-c): em R, xn é convergente se, e somente se, é de Cauchy.
Direção direta (convergente Rightarrow Cauchy):
Se xnto L, dado epsilon>0, existe N tal que, para todo n>N, |xn - L|<tfracepsilon2. Então, para m,n>N,
|xm - xn|<= |xm - L| + |L - xn| < tfracepsilon2 + tfracepsilon2 = epsilon,
logo é Cauchy.
Direção recíproca (Cauchy Rightarrow convergente):
Pela parte (a) xn é limitada. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass tem-se uma subsequência xnkto L. Como xn é Cauchy, dado epsilon>0 existe N0 tal que, para todo m,n>N0, |xm - xn|<tfracepsilon2. Seja k grande o suficiente com nk>N0 e |xnk-L|<tfracepsilon2. Para qualquer n>maxN0,nk, temos
|xn - L|<= |xn - xnk| + |xnk-L| < tfracepsilon2 + tfracepsilon2 = epsilon
Assim xnto L.

Passo 5

Agora a Parte 12circ, sequência xn+1 = raizxn + b com x1=a>0 e a^2<a+b. Definimos L>0 como solução de
L = raizL + b,
isto é, L^2 - L - b = 0. Como b>0, a raiz positiva é
L = 1+raiz1+4b2
Mostraremos monotonicidade e limitação superior em relação a L.

Passo 6

Monotonicidade crescente por indução.
Base n=1: pelo dado a^2 < a + b segue a < raiza+b = x2.
Passo indutivo: suponha xn < xn+1 e xn < L. Como xn>=0 e L(L-1)=b, temos
xn(xn-1) ;<=; L(L-1) = b Longrightarrow xn + b ;>=; xn^2 Longrightarrow raizxn + b;>=;xn
Assim xn+1>= xn. Logo xn é crescente.

Passo 7

Limitação superior por indução.
Base n=1: se a<1 então a< L pois L>1; se a>=1 então a(a-1)<b=L(L-1) implica a<L.
Passo indutivo: suponha xn<L. Então
xn+1 = raizxn + b < raizL + b = raizL^2 = L,
pois L>0. Logo xn+1<L. Assim xn é limitada por L.

Passo 8

Como xn é crescente e limitada, converge. Seja ell=limntoinftyxn. Pelafunção contínua f(x)=raizx+b obtemos
ell = limntoinfty xn+1 = limntoinfty raizxn + b = raizell + b,
ou seja ell^2 - ell - b=0. A única solução não negativa é
ell = 1+raiz1+4b2

Resposta

11circ-a) Toda sequência de Cauchy é limitada em R.
11circ-b) Não pode ter dois valores de aderência distintos (único aderente).
11circ-c) Em R, sequência é convergente se, e somente se, é de Cauchy.
12circ-a) A sequência definida por xn+1=raizxn+b é crescente, limitada superiormente por
L=1+raiz1+4b2 e, portanto, convergente.
12circ-b) Seu limite é
limntoinftyxn = 1+raiz1+4b2

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