São dados três pontos A, B e C com B entre A e C. Sejam M e N os pontos médios de A B e B C respectivamente. Mostre que M N=(A B+B C) / 2.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos três pontos A,B,C alinhados, com B entre A e C. Os pontos M e N são, respectivamente, os pontos médios de AB e de BC. O objetivo é mostrar a relação vetorial
MN=AB+BC2
Para isso, vamos usar coordenadas vetoriais com um ponto de origem O qualquer e as propriedades de pontos médios e soma de vetores.

Passo 2

Pela definição de ponto médio temos
AM=tfrac12,AB e BN=tfrac12,BC

Passo 3

Escrevemos as posições de M e N relativas à origem O. Usando a regra de soma de vetores,
OM =OA+AM =OA+tfrac12,AB,
ON =OB+BN =OB+tfrac12,BC

Passo 4

O vetor de M a N é
MN =ON-OM
Substituindo as expressões de ON e OM,
MN =l(OB+tfrac12,BCr) -l(OA+tfrac12,ABr)

Passo 5

Como OB-OA=AB, temos
MN =AB +tfrac12,BC -tfrac12,AB =tfrac12,AB +tfrac12,BC =AB+BC2

Resposta

MN=AB+BC2

Exercícios relacionados