São dados três pontos e com entre e . Sejam e os pontos médios de e respectivamente. Mostre que .
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos três pontos A,B,C alinhados, com B entre A e C. Os pontos M e N são, respectivamente, os pontos médios de AB e de BC. O objetivo é mostrar a relação vetorial
MN=AB+BC2
Para isso, vamos usar coordenadas vetoriais com um ponto de origem O qualquer e as propriedades de pontos médios e soma de vetores.
Passo 2
Pela definição de ponto médio temos
AM=tfrac12,AB e BN=tfrac12,BC
Passo 3
Escrevemos as posições de M e N relativas à origem O. Usando a regra de soma de vetores,