Seja
o erro relativo na
-ésima etapa do cálculo de
. Prove que
.
) Prove que
.
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte
usamos o método de Newton para aproximar
pela iteração
e definimos o erro relativo
Queremos achar uma fórmula em termos de
para
.
Na parte precisamos mostrar que
Na parte
ou seja, a sequência
cresce sem limite.
Passo 2
Vamos à parte
. Começamos escrevendo
em função de
:
Então
Substituindo na fórmula de Newton,
Passo 3
Para encontrar
fazemos
Colocando tudo sobre um denominador comum
:
Passo 4
Concluímos a parte
:
Passo 5
Agora a parte
. Queremos ver que
. Note que para
podemos separar o produto em dois blocos iguais:
Logo
Tomando raiz enésima,
Passo 6
Como
quando
, a sequência
também vai para infinito.