13^circ) Seja en=(xn-raiza)raiza o erro relativo na n-ésima etapa do cálculo de raiza. Prove que en+1=en^22(en+1).
14^circ ) Prove que lim raiz[n]n!=infty.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte 13circ usamos o método de Newton para aproximar raiza pela iteração
xn+1 = xn + axn2
e definimos o erro relativo
en = xn - raizaraiza
Queremos achar uma fórmula em termos de en para en+1.
Na parte 14circ precisamos mostrar que
limntoinfty raiz[n]n! = infty,
ou seja, a sequência raiz[n]n! cresce sem limite.

Passo 2

Vamos à parte 13circ. Começamos escrevendo xn em função de en:
xn = raiza,(1 + en)
Então
axn = raiza,raizaraiza,(1+en) = raiza1+en
Substituindo na fórmula de Newton,
xn+1 = 12l(xn + tfracaxnr) = raiza2l((1+en) + tfrac11+enr)

Passo 3

Para encontrar en+1 fazemos
en+1 = xn+1 - raizaraiza = 12l((1+en) + tfrac11+enr) - 1
Colocando tudo sobre um denominador comum 2(1+en):
en+1 = (1+en)^2 + 12(1+en) - 1 = (1+en)^2 + 1 - 2(1+en)2(1+en) = en^22(1+en)

Passo 4

Concluímos a parte 13circ:
boxeden+1 = en^22,(en+1)

Passo 5

Agora a parte 14circ. Queremos ver que raiz[n]n!toinfty. Note que para n>=2 podemos separar o produto em dois blocos iguais:
n! = 1cdot 2cdot 3cdots n ;>=; l(tfracn2r)cdot l(tfracn2r)cdots l(tfracn2r) (com (n/2) fatores (tfrac n2))
Logo
n! >= l(tfracn2r)^tfrac n2
Tomando raiz enésima,
raiz[n]n! >= l(l(tfracn2r)^tfrac n2r)^1/n = l(tfracn2r)^1/2 = raiztfracn2

Passo 6

Como raiztfracn2toinfty quando ntoinfty, a sequência raiz[n]n! também vai para infinito.

Resposta

13circ) en+1 = en^22(en+1) 14circ) limntoinftyraiz[n]n! = infty

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