11^circ ) - Encontre a área do paralelogramo gerado pelos vetores a=i+2 j+3 k e b=-i-5 j-k.

Passo 1

Neste exercício, temos dois vetores em R^3, vec a = i + 2j + 3k e vec b = -i - 5j - k, e queremos achar a área do paralelogramo gerado por eles. O conteúdo que vamos usar é o produto vetorial e a relação entre a norma do produto vetorial e a área do paralelogramo.

Passo 2

A área do paralelogramo gerado por vec a e vec b é dada por Área = |vec a times vec b|Á.
Para encontrar vec a times vec b, montamos o determinante:
vec a times vec b = vec i & vec j & vec k 1 & 2 & 3 -1 & -5 & -1

Passo 3

Expandindo pelo método de Sarrus, temos:
vec a times vec b = vec i,(2cdot(-1) - 3cdot(-5)) - vec j,(1cdot(-1) - 3cdot(-1)) + vec k,(1cdot(-5) - 2cdot(-1))

Passo 4

Calculando cada termo:
2cdot(-1) - 3cdot(-5) = -2 + 15 = 13, 1cdot(-1) - 3cdot(-1) = -1 + 3 = 2, 1cdot(-5) - 2cdot(-1) = -5 + 2 = -3

Passo 5

Portanto:
vec a times vec b = 13,vec i - 2,vec j - 3,vec k
Agora, para obter a área, calculamos a norma desse vetor:
|vec a times vec b| = raiz13^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = raiz169 + 4 + 9 = raiz182

Resposta

raiz182

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