Encontre o menor limite superior e o maior limite inferior (se existirem) dos seguintes conjuntos. Também decida quais conjuntos têm maiores e menores elementos (isto é, decida quando o menor limite superior e o maior limite inferior pertencem ao conjunto).
.
Passo 1
Estamos com o conjunto
. O conteúdo é supremum e ínfimum (menor limite superior e maior limite inferior), e também investigar se esses valores pertencem a
.
Passo 2
Vamos separar os termos em duas sub-sequências de acordo com a paridade de
: para
par temos
e para
ímpar temos
.
Passo 3
Analisando
: quando
o valor é
. Para
,
e
decresce para 1 à medida que
. Logo
, e como esse valor ocorre em
, ele pertence a
(maior elemento).
Passo 4
Analisando
: para
temos
, mas conforme
ímpar cresce,
decresce para
sem nunca atingi-lo. Isso mostra que
é limite inferior (menor limite inferior), mas não pertence a
. Portanto
e não há mínimo.
Passo 5
Concluímos então que o menor limite superior existe e é o próprio máximo do conjunto, enquanto o maior limite inferior existe mas não é atingido (não há mínimo).
Resposta
O supremo é
(é máximo, pertence a
) e o ínfimo é
(não pertence a
, logo não há mínimo).