Encontre o menor limite superior e o maior limite inferior (se existirem) dos seguintes conjuntos. Também decida quais conjuntos têm maiores e menores elementos (isto é, decida quando o menor limite superior e o maior limite inferior pertencem ao conjunto).
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Passo 1

Estamos com o conjunto S=tfrac1n+(-1)^n:,nin N. O conteúdo é supremum e ínfimum (menor limite superior e maior limite inferior), e também investigar se esses valores pertencem a S.

Passo 2

Vamos separar os termos em duas sub-sequências de acordo com a paridade de n: para n par temos an=1/n+1 e para n ímpar temos bn=1/n-1.

Passo 3

Analisando an=1+1/n: quando n=2 o valor é 1+1/2=3/2. Para n>2, 1+1/n<3/2 e 1+1/n decresce para 1 à medida que ntoinfty. Logo sup S=3/2, e como esse valor ocorre em n=2, ele pertence a S (maior elemento).

Passo 4

Analisando bn=-1+1/n: para n=1 temos 0, mas conforme n ímpar cresce, bn decresce para -1 sem nunca atingi-lo. Isso mostra que -1 é limite inferior (menor limite inferior), mas não pertence a S. Portanto inf S=-1 e não há mínimo.

Passo 5

Concluímos então que o menor limite superior existe e é o próprio máximo do conjunto, enquanto o maior limite inferior existe mas não é atingido (não há mínimo).

Resposta

O supremo é tfrac32 (é máximo, pertence a S) e o ínfimo é -1 (não pertence a S, logo não há mínimo).

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