Suponha que A neq emptyset seja limitado inferiormente. Seja -A o conjunto de todos os -x para x in A. Prove que -A neq emptyset, que -A é limitado superiormente e que -sup (-A) é o maior limite inferior de A.

Passo 1

O enunciado diz que temos um conjunto A não vazio e limitado inferiormente. Definimos -A = { -x | x ∈ A }. O objetivo é provar que -A é não vazio, que é limitado superiormente e que -sup(-A) é o ínfimo de A. Para isso vamos usar as definições de limite inferior, limite superior, supremum e infimum.

Passo 2

Como A ≠ ∅, existe pelo menos um x₀ em A. Logo, -x₀ pertence a -A por definição de -A. Isso mostra que -A ≠ ∅.

Passo 3

Como A é limitado inferiormente, existe m ∈ ℝ tal que m ≤ x para todo x ∈ A. Tomando y ∈ -A, temos y = -x para algum x ∈ A, então y = -x ≤ -m. Logo, -m é um limitante superior de -A, ou seja, -A é limitado superiormente.

Passo 4

Pela Parte 3, -A é não vazio e limitado superiormente, então sup(-A) existe. Agora vamos mostrar que -sup(-A) é um limitante inferior de A. Para todo x ∈ A, temos -x ∈ -A e, por definição de supremum, -x ≤ sup(-A). Aplicando sinal negativo em ambos os lados obtemos -sup(-A) ≤ x. Assim, -sup(-A) é um limitante inferior de A.

Passo 5

Para ver que -sup(-A) é o maior limitante inferior de A, seja ℓ qualquer outro limitante inferior de A. Então ℓ ≤ x para todo x ∈ A, e portanto -ℓ ≥ -x para todo x ∈ A, ou seja, -ℓ é um limitante superior de -A. Da definição de supremum vem sup(-A) ≤ -ℓ. Aplicando sinal negativo: -sup(-A) ≥ ℓ. Isso mostra que nenhum limitante inferior de A pode ser maior que -sup(-A), logo -sup(-A) é o maior deles.

Resposta

-A ≠ ∅, -A é limitado superiormente e o maior limitante inferior de A (isto é, inf A) é -sup(-A).

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