Suponha que
seja limitado inferiormente. Seja
o conjunto de todos os
para
. Prove que
, que
é limitado superiormente e que
é o maior limite inferior de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um conjunto A não vazio e limitado inferiormente. Definimos -A = { -x | x ∈ A }. O objetivo é provar que -A é não vazio, que é limitado superiormente e que -sup(-A) é o ínfimo de A. Para isso vamos usar as definições de limite inferior, limite superior, supremum e infimum.
Passo 2
Como A ≠ ∅, existe pelo menos um x₀ em A. Logo, -x₀ pertence a -A por definição de -A. Isso mostra que -A ≠ ∅.
Passo 3
Como A é limitado inferiormente, existe m ∈ ℝ tal que m ≤ x para todo x ∈ A. Tomando y ∈ -A, temos y = -x para algum x ∈ A, então y = -x ≤ -m. Logo, -m é um limitante superior de -A, ou seja, -A é limitado superiormente.
Passo 4
Pela Parte 3, -A é não vazio e limitado superiormente, então sup(-A) existe. Agora vamos mostrar que -sup(-A) é um limitante inferior de A. Para todo x ∈ A, temos -x ∈ -A e, por definição de supremum, -x ≤ sup(-A). Aplicando sinal negativo em ambos os lados obtemos -sup(-A) ≤ x. Assim, -sup(-A) é um limitante inferior de A.
Passo 5
Para ver que -sup(-A) é o maior limitante inferior de A, seja ℓ qualquer outro limitante inferior de A. Então ℓ ≤ x para todo x ∈ A, e portanto -ℓ ≥ -x para todo x ∈ A, ou seja, -ℓ é um limitante superior de -A. Da definição de supremum vem sup(-A) ≤ -ℓ. Aplicando sinal negativo: -sup(-A) ≥ ℓ. Isso mostra que nenhum limitante inferior de A pode ser maior que -sup(-A), logo -sup(-A) é o maior deles.
Resposta
-A ≠ ∅, -A é limitado superiormente e o maior limitante inferior de A (isto é, inf A) é -sup(-A).