8^circ ) Determine três vetores unitários a, b, c tais que a+b+c=0

Passo 1

O enunciado pede para achar três vetores unitários vec a,vec b,vec c tais que vec a+vec b+vec c=0. Vamos usar teoria de soma de vetores e produto escalar para ver que eles precisam estar espaçados em 120^circ.

Passo 2

Como vec a+vec b+vec c=0, temos
|vec a+vec b+vec c|^2=0

Passo 3

Expandindo o quadrado da soma e lembrando que cada vetor é unitário ( |vec a|=|vec b|=|vec c|=1),
|vec a|^2+|vec b|^2+|vec c|^2+2(vec acdotvec b+vec bcdotvec c+vec ccdotvec a)=0

Passo 4

Substituindo 1+1+1=3, fica
3+2(vec acdotvec b+vec bcdotvec c+vec ccdotvec a)=0impliesvec acdotvec b+vec bcdotvec c+vec ccdotvec a=-tfrac32

Passo 5

Se assumirmos simetria, então cada produto escalar vale
vec acdotvec b=vec bcdotvec c=vec ccdotvec a=-tfrac12,
o que corresponde a ângulos de
arccosl(-tfrac12r)=120^circ

Passo 6

Assim, podemos escolher os vetores no plano xy separados por 120^circ:
vec a=l(1,0r),
vec b=l(cos120^circ,,sin120^circr)=l(-tfrac12,,tfracraiz32r),
vec c=l(cos240^circ,,sin240^circr)=l(-tfrac12,,-tfracraiz32r)

Resposta

Uma escolha conveniente é
vec a=(1,0), vec b=l(-tfrac12,tfracraiz32r), vec c=l(-tfrac12,-tfracraiz32r),
que são unitários e satisfazem vec a+vec b+vec c=0.

Exercícios relacionados