11 Coloque G(s) dada a seguir em realimentação unitária e utilize o critério de Routh-Hurwitz para dizer se o sistema em malha fechada é estável ou não.
G(s)=12 s^4+5 s^3+s^2+2 s

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha aberta
G(s)=12s^4+5s^3+s^2+2s
e pede para fechar em realimentação unitária e analisar a estabilidade via critério de Routh–Hurwitz. Vamos usar que, em realimentação unitária, a equação característica é
1+G(s)=0,
cujo polinômio associado serve de entrada para o critério de Routh.

Passo 2

Formamos a equação característica:
1 + 12s^4+5s^3+s^2+2s=0
Multiplicando pelo denominador obtemos
2s^4+5s^3+s^2+2s + 1 = 0
Logo o polinômio característico é
P(s)=2s^4+5s^3+1s^2+2s+1

Passo 3

Montamos as duas primeiras linhas do array de Routh usando os coeficientes de P(s):
c|ccc s^4 & 2 & 1 & 1[6pt] s^3 & 5 & 2 & 0 ]

Passo 4

Calculamos a linha de s^2 pelo determinante:
b1 &= 5cdot1 - 2cdot25 = 5-45 = 15, b2 &= 5cdot1 - 2cdot05 = 55 = 1
Assim:
c|cc s^2 & tfrac15 & 1

Passo 5

Agora a linha de s^1:
c1 = tfrac15cdot2 - 5cdot1tfrac15 = 0.4 - 50.2 = -23, c2 = 0
e por fim s^0 com o último coeficiente:
c|c s^1 & -23[4pt] s^0 & 1 ]

Passo 6

Observamos a primeira coluna do array:
2,;5,;tfrac15,;-23,;1
Há duas trocas de sinal ( tfrac15to -23 e -23to1), indicando dois pólos no semiplano direito. Pelo critério de Routh, o sistema em malha fechada é instável.

Resposta

O sistema em malha fechada é instável.

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