12 Coloque G(s) dada a seguir em realimentação unitária e determine a faixa de valores de K para assegurar estabilidade.
G(s)=K(s+6)s(s+1)(s+4)

Passo 1

O enunciado pede para colocar
G(s)=K,(s+6)s,(s+1),(s+4)
em realimentação unitária e achar o intervalo de K que garante estabilidade. O conteúdo aqui é realimentação negativa unitária de sistemas LTI e usamos o critério de Routh–Hurwitz para determinar a faixa de K.

Passo 2

Escrevemos a equação característica da malha fechada em realimentação negativa unitária:
1 + G(s) = 0
ou seja
1 + K,(s+6)s,(s+1),(s+4) = 0 Longrightarrow s,(s+1),(s+4) + K,(s+6) = 0
Expandindo s(s+1)(s+4) obtemos
s^3 + 5,s^2 +4,s
e somando K(s+6) chega-se ao polinômio característico
boxeds^3 + 5,s^2 + (4+K),s + 6,K = 0

Passo 3

Construímos a tabela de Routh para
s^3 + 5,s^2 + (4+K),s + 6,K = 0
c|cc s^3 & 1 & 4+K[6pt] s^2 & 5 & 6K [6pt] s^1 & dfrac5,(4+K) - 1cdot6K5 & 0 [10pt] s^0 & 6K &
Calculamos o termo da linha s^1:
5,(4+K) - 6K5 = 20 +5K -6K5 = 20 - K5 ]

Passo 4

Para estabilidade, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos:
  1. 1>0 (automático)
  2. 5>0 (automático)
  3. dfrac20-K5>0 ;Longrightarrow;20-K>0 ;Longrightarrow;K<20
  4. 6K>0 ;Longrightarrow;K>0
Assim, a condição de estabilidade é
0 < K < 20

Resposta

O sistema em malha fechada é estável se, e somente se,
0 < K < 20

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