6 Para o sistema de segunda ordem a seguir, determine zeta, omegan, Ts, Tp, Tr e % U P :
T(s)=0,04s^2+0,02 s+0,04

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência de um sistema de segunda ordem a la forma padrão
T(s)=0,04s^2+0,02s+0,04
e pede os parâmetros de resposta ao degrau: taxa de amortecimento zeta, frequência natural omegan, tempo de acomodação Ts, tempo de pico Tp, tempo de subida Tr e sobressinal percentual %UP. Para isso, vamos comparar com a forma canônica
G(s)=K,omegan^2s^2+2zetaomegans+omegan^2

Passo 2

Identificamos os coeficientes do denominador:
s^2+0,02s+0,04 long<=ftrightarrow s^2+2zetaomegans+omegan^2
Logo,
omegan^2=0,04 Rightarrow omegan=0,2 (rad/s),
2,zeta,omegan=0,02 Rightarrow zeta=0,022cdot0,2=0,05
O ganho em regime permanente é K=0,04omegan^2=1.

Passo 3

Calculamos a frequência amortecida
omegad=omeganraiz1-zeta^2 =0,2raiz1-0,05^2 approx0,19975 (rad/s)
E o ângulo de defasagem
varphi=arccos(zeta)=arccos(0,05)approx1,5208 (rad)

Passo 4

O sobressinal percentual é dado por
%UP =100,expl(-zetapiraiz1-zeta^2r) =100,e^-0,05pi/0,99875 approx85,46%

Passo 5

O tempo de pico (primeira ultrapassagem máxima) vem de
Tp=piomegad approxpi0,19975 approx15,73 s

Passo 6

O tempo de subida (de 0% a 100% no modelo idealizado) usa
Tr=pi-varphiomegad approxpi-1,52080,19975 approx8,11 s

Passo 7

O tempo de acomodação ( 2%) é
Ts=4zeta,omegan =40,05cdot0,2 =400 s

Resposta

zeta=0,05,\n
omegan=0,2 rad/s,\n
Tsapprox400 s,\n
Tpapprox15,73 s,\n
Trapprox8,11 s,\n
%UPapprox85,46%

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