11.4 Computação Quântica

A possibilidade de construção de computadores quânticos começou a aparecer na comunidade científica na década de 1980, com as discussões de vários cientistas, entre eles Richard Feynman (1982) e David Deutsch (1985). Tais computadores são conceitualmente diferentes dos atuais, os quais usam transistors, e carregam informação em “bits” unitários, que podem assumir somente dois valores, ou estados, definidos como zero e um. Computadores quânticos, por outro lado, usam o conceito de “bit quântico”, ou QUBIT, que pode existir em estados simultâneos de zero e um, ou seja, estados que são superposições quânticas dos estados zero e um (GRECA; HERSCOVITZ, 2002). A seguir apresentamos alguns aspectos matemáticos envolvidos nessa discussão.
Considerando o sistema composto considerado por Bell, formado por duas partículas de spin 1/2 emaranhadas, podemos construir quatro estados:
& |B1rang<==1raiz2(|++rang<=+|--rang<=) & |B2rang<==1raiz2(|+rang<=+|-rang<=) & |B3rang<==1raiz2(|+rang<=-|-rang<=) & |B4rang<==1raiz2(|++rang<=-|--rang<=)
que formam uma base no espaço de Hilbert do sistema composto. Considere, agora, que o sistema composto está no estado de Bell |B1rang<=. Aplicando o operador SZ^(1) otimes 1^(2) em |B1rang<= temos:
(Sz^(1) otimes 1^(2))|B1rang<= & =(Sz^(1) otimes 1^(2)) 1raiz2(|++rang<=+|--rang<=) & =1raiz2[(Sz^(1)|+rang<=) otimes|+rang<=+(Sz^(1)|-rang<=) otimes|-rang<=] & =1raiz2(|++rang<=-|--rang<=)=|B4rang<=

Passo 1

O enunciado nos dá o estado de Bell
|B1rang<= = 1raiz2l(|++rang<= + |--rang<=r)
e pede para calcular
l(hat Sz^(1)otimes hat 1^(2)r)|B1rang<=
O conteúdo aqui é usar linearidade do operador e a propriedade de autovalor de hat Sz sobre os autoestados |+rang<= e |-rang<=.

Passo 2

Usando linearidade do produto tensorial e constante 1/raiz2, escrevemos
l(hat Sz^(1)otimes hat 1^(2)r)|B1rang<= = 1raiz2l[l(hat Sz^(1)otimes hat 1^(2)r)|++rang<= + l(hat Sz^(1)otimes hat 1^(2)r)|--rang<=r]

Passo 3

Agora usamos
hat Sz^(1)|+rang<= = +,hbar2,|+rang<=, hat Sz^(1)|-rang<= = -,hbar2,|-rang<=,
e hat 1^(2) age como identidade no segundo qubit. Assim
l(hat Sz^(1)otimes hat 1^(2)r)|++rang<= &= +,hbar2,|+rang<=otimes|+rang<= = hbar2,|++rang<=, l(hat Sz^(1)otimes hat 1^(2)r)|--rang<= &= -,hbar2,|-rang<=otimes|-rang<= = -hbar2,|--rang<=

Passo 4

Substituindo esses resultados em (2), obtemos
1raiz2l[tfrachbar2,|++rang<= -tfrachbar2,|--rang<=r] = hbar2,1raiz2l(|++rang<= - |--rang<=r) = hbar2,|B4rang<=
Como normalmente desprezamos o fator escalar hbar/2 ao identificar o estado resultante, vemos que o vetor de estado passa a ser exatamente |B4rang<=.

Resposta

|B4rang<= (até o fator escalar hbar/2)

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