3-Encontre a solucão para equacào difencial
y^prime prime+2 y^prime+17 y=0 ; y(0)=1, y^prime(0)=7

Passo 1

Temos a EDO y'' + 2y' + 17y = 0 com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=7. Isso é uma equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes: vamos formar a equação característica e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes da solução.

Passo 2

A equação característica associada é r^2 + 2r + 17 = 0. Aplicando Bhaskara, o discriminante é De<a = 2^2 - 4cdot1cdot17 = -64, logo

Passo 3

r = -2 pm raiz-642 = -1 pm 4i

Passo 4

Para raízes complexas alpha pm beta i a solução geral é
y(t) = e^alpha t(Acos(beta t) + Bsin(beta t))
Aqui alpha = -1 e beta = 4, então obtenho
y(t) = e^-t(Acos4t + Bsin4t)

Passo 5

Derivo essa solução pela regra do produto e pelas derivadas de seno e cosseno para achar
y'(t) = e^-t[(-A + 4B)cos4t + (-4A - B)sin4t]

Passo 6

Em t=0: temos y(0)=A=1. E y'(0)= -A + 4B = 7. Substituindo A=1 4B = 8, então B=2.

Resposta

y(t)=e^-t(cos4t+2sin4t)

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