Determinar se a série a seguir converge ou diverge,
sumn=1^infty 7 raizn8 n^2+9

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=1^infty 7 raizn8 n^2+9
Estamos no tópico de séries de termos positivos e vamos usar o teste de comparação (direto ou por limite) com uma série p-série.

Passo 2

Observando o comportamento para n grande, o denominador satisfaz
8n^2+9 sim 8n^2,
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7raizn8n^2+9sim 7raizn8n^2 =78,n^-tfrac32
A série comparadora natural é
sumn=1^infty 1n^3/2,
que converge pois p=tfrac32>1.

Passo 3

Aplicando o teste da comparação por limite com
bn = 1n^3/2, calculemos
L = limntoinftyanbn = limntoinfty 7raizn8n^2+91n^3/2 = limntoinfty 7n^28n^2+9 = 78,
que é um número finito e não nulo. Portanto, pela comparação por limite, sum an e sum bn têm o mesmo comportamento.

Passo 4

Como sum bn converge, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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