11- Considere 3 osciladores quantizados (modelo para 1 átomo). Eles compartilham 3 “quanta” de energia. Uma maneira de distribuir a energia entre esses osciladores pode ser escrita como " 300 " ( 3 quanta no primeiro oscilador, nenhum quantum nos demais). Uma outra maneira é “102” (1 quantum
no primeiro oscilador, nenhum no segundo, 2 quanta no terceiro). Liste todas as maneiras de distribuir esses 3 quanta de energia entre os 3 osciladores. Neste caso, quantas são as diferentes maneiras?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: listar todas as maneiras de distribuir 3 quanta de energia entre 3 osciladores (cada oscilador pode ter 0 ou mais quanta) e dizer quantas maneiras diferentes existem. As informações dadas são: existem 3 osciladores distintos e um total de 3 quanta para repartir. Exemplos fornecidos no enunciado são as distribuições “ 300” e “ 102”.

Passo 2

Vamos traduzir o problema para uma equação inteira: se n_1, n_2 e n_3 são os números de quanta nos osciladores 1, 2 e 3 respectivamente, então devemos encontrar todas as soluções inteiras não-negativas da equação
n_1 + n_2 + n_3 = 3,
com n_1,n_2,n_3 \ge 0. Escrever o problema assim deixa claro que estamos contando todas as triplas ordenadas (n_1,n_2,n_3) com soma 3.

Passo 3

Vou explicar um método visual e simples para contar essas soluções (e que também justifica o cálculo combinatório): pense nos 3 quanta como três estrelas *\\ *\\ *. Para dividir essas estrelas entre 3 caixas (osciladores) colocamos dois separadores (barras) entre as estrelas para indicar onde termina o conteúdo de um oscilador e começa o próximo. Por exemplo:
**|*| \quad\text{corresponde a}\quad (2,1,0),
porque antes da primeira barra há 2 estrelas (oscilador 1), entre as barras há 1 estrela (oscilador 2) e depois da segunda barra há 0 estrelas (oscilador 3). Cada disposição de 3 estrelas e 2 barras corresponde de forma única a uma distribuição (n_1,n_2,n_3).

Passo 4

O problema de contar tais arranjos de 3 estrelas e 2 barras reduz-se a escolher as posições das 2 barras entre os 3+2=5 posições (as posições são as casas onde podem ficar estrelas ou barras). O número de escolhas é o coeficiente binomial
\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!}.
Calculemos:
5! = 120,\quad 2! = 2,\quad 3! = 6,
então
\binom{5}{2} = \frac{120}{2\cdot 6} = \frac{120}{12} = 10.
Portanto, devem existir 10 distribuições diferentes.

Passo 5

Agora vou listar todas as 10 triplas sistematicamente para que você possa usar esse procedimento na prova (uma forma prática é agrupar por quantos quanta tem o primeiro oscilador, ou por partições com permutações):
  • Casos com um oscilador com 3 quanta e os outros 0: (3,0,0), (0,3,0), (0,0,3). (3 maneiras)
  • Casos com um oscilador com 2, outro com 1 e o terceiro com 0: todas as permutações de (2,1,0), que são (2,1,0), (2,0,1), (1,2,0), (0,2,1), (1,0,2), (0,1,2). (6 maneiras)
  • Caso com todos com 1: (1,1,1). (1 maneira)
Liste completa (verificada): (3,0,0), (0,3,0), (0,0,3), (2,1,0), (2,0,1), (1,2,0), (0,2,1), (1,0,2), (0,1,2), (1,1,1). Contando-os obtemos 3+6+1=10, que confere com o cálculo do coeficiente binomial.

Resposta

(3,0,0)
(0,3,0)
(0,0,3)
(2,1,0)
(2,0,1)
(1,2,0)
(0,2,1)
(1,0,2)
(0,1,2)
(1,1,1)
\text{Total: }10

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