11- Considere 3 osciladores quantizados (modelo para 1 átomo). Eles compartilham 3 “quanta” de energia. Uma maneira de distribuir a energia entre esses osciladores pode ser escrita como " 300 " ( 3 quanta no primeiro oscilador, nenhum quantum nos demais). Uma outra maneira é “102” (1 quantum
no primeiro oscilador, nenhum no segundo, 2 quanta no terceiro). Liste todas as maneiras de distribuir esses 3 quanta de energia entre os 3 osciladores. Neste caso, quantas são as diferentes maneiras?
no primeiro oscilador, nenhum no segundo, 2 quanta no terceiro). Liste todas as maneiras de distribuir esses 3 quanta de energia entre os 3 osciladores. Neste caso, quantas são as diferentes maneiras?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: listar todas as maneiras de distribuir
quanta de energia entre
osciladores (cada oscilador pode ter
ou mais quanta) e dizer quantas maneiras diferentes existem. As informações dadas são: existem
osciladores distintos e um total de
quanta para repartir. Exemplos fornecidos no enunciado são as distribuições “
” e “
”.
Passo 2
Vamos traduzir o problema para uma equação inteira: se
,
e
são os números de quanta nos osciladores 1, 2 e 3 respectivamente, então devemos encontrar todas as soluções inteiras não-negativas da equação
com
. Escrever o problema assim deixa claro que estamos contando todas as triplas ordenadas
com soma
.
Passo 3
Vou explicar um método visual e simples para contar essas soluções (e que também justifica o cálculo combinatório): pense nos
quanta como três estrelas
. Para dividir essas estrelas entre
caixas (osciladores) colocamos dois separadores (barras) entre as estrelas para indicar onde termina o conteúdo de um oscilador e começa o próximo. Por exemplo:
porque antes da primeira barra há
estrelas (oscilador 1), entre as barras há
estrela (oscilador 2) e depois da segunda barra há
estrelas (oscilador 3). Cada disposição de
estrelas e
barras corresponde de forma única a uma distribuição
.
Passo 4
O problema de contar tais arranjos de
estrelas e
barras reduz-se a escolher as posições das
barras entre os
posições (as posições são as casas onde podem ficar estrelas ou barras). O número de escolhas é o coeficiente binomial
Calculemos:
então
Portanto, devem existir
distribuições diferentes.
Passo 5
Agora vou listar todas as
triplas sistematicamente para que você possa usar esse procedimento na prova (uma forma prática é agrupar por quantos quanta tem o primeiro oscilador, ou por partições com permutações):
- Casos com um oscilador com
quanta e os outros : , , . (3 maneiras) - Casos com um oscilador com
, outro com e o terceiro com : todas as permutações de , que são , , , , , . (6 maneiras) - Caso com todos com
: . (1 maneira)
Liste completa (verificada):
,
,
,
,
,
,
,
,
,
. Contando-os obtemos
, que confere com o cálculo do coeficiente binomial.