13- Considere dois átomos “bizarros”, o átomo A contendo 2 osciladores unidimensionais, e o átomo B, 4 osciladores unidimensionais. Faça a distribuição de 3 quanta de energia nesse sistema, e contabilize o número de microestados.
a) Quantos microestados existem para 0 quantum no átomo A e 3 quanta no átomo B ?
b) Quantos microestados existem para 1 quantum no átomo A e 2 quanta no átomo B ?
c) Quantos microestados existem para 2 quanta no átomo A e 1 quantum no átomo B ?
d) Quantos microestados existem para 3 quanta no átomo A e 0 quantum no átomo B ?
e) Com base nos resultados acima, é possível dizer se há uma única configuração mais provável de ocorrer?
a) Quantos microestados existem para 0 quantum no átomo A e 3 quanta no átomo B ?
b) Quantos microestados existem para 1 quantum no átomo A e 2 quanta no átomo B ?
c) Quantos microestados existem para 2 quanta no átomo A e 1 quantum no átomo B ?
d) Quantos microestados existem para 3 quanta no átomo A e 0 quantum no átomo B ?
e) Com base nos resultados acima, é possível dizer se há uma única configuração mais provável de ocorrer?
Passo 1
O enunciado dá:
- Átomo
com osciladores unidimensionais. - Átomo
com osciladores unidimensionais. - Energia total em quanta:
quanta, a distribuir entre os dois átomos.
As perguntas pedem, para cada divisão fixa de quanta entree :
a) número de microestados paraquantum em e quanta em ;
b) número de microestados paraquantum em e quanta em ;
c) número de microestados paraquanta em e quantum em ;
d) número de microestados paraquanta em e quanta em ;
e) determinar se existe uma única configuração mais provável de ocorrer (ou seja, comparar quantidades obtidas).
Passo 2
O que é um microestado aqui e como contamos?
- Cada microestado é uma maneira específica de distribuir quanta idênticos entre os osciladores distinguíveis. Os quanta são indistinguíveis (são apenas unidades de energia), mas os osciladores são distinguíveis (cada oscilador é diferente), então contamos soluções inteiras não-negativas da soma dos ocupações.
- A tarefa matemática equivalente: contar o número de soluções inteiras não-negativas de
onde
é o número de osciladores e
é o número de quanta atribuídos a esse átomo.
- O resultado clássico (método “stars and bars”) diz que o número de soluções é
Explicação verbal do porquê: imagine
estrelas (quanta) e coloque
barras para separar as
caixas (osciladores). O número de arranjos distintos de
estrelas e
barras é o número de sequências de
símbolos onde escolhemos as posições das
estrelas, isto é
.
Passo 3
Um exemplo curto para fixar:
- Distribuir
quanta em osciladores. Pela fórmula,
As configurações são
. Isso mostra concretamente como a fórmula conta os microestados.
Passo 4
Aplicando ao nosso sistema:
- Para o átomo
temos . - Para o átomo
temos .
Se atribuirmosquanta a e quanta a (com ), o número de microestados do sistema nessa divisão é o produto:
ou explicitamente
Isso ocorre porque as escolhas internas de
e de
são independentes.
Passo 5
Caso (a):
,
.
- Para
:
Interpretação: se não há quanta em
, só há uma maneira (cada oscilador tem zero).
- Para
:
Calcule
:
- Produto:
Passo 6
Caso (b):
,
.
- Para
:
(Intuitivamente: colocar 1 quantum em 2 osciladores dá duas possibilidades.)
- Para
:
Calcule
:
- Produto:
Passo 7
Caso (c):
,
.
- Para
:
(As três distribuições são
entre os dois osciladores de
.)
- Para
:
- Produto:
Passo 8
Caso (d):
,
.
- Para
:
- Para
:
- Produto:
Passo 9
Verificação global e resposta à probabilidade:
- Soma das multiplicidades das quatro divisões possíveis (
) é
- Checagem pela fórmula total (todos os
osciladores juntos com quanta):
logo a soma confere — boa consistência.
- Para saber qual configuração é mais provável, com quanta indistinguíveis e níveis energeticamente equivalentes, a probabilidade de uma divisão fixa
é proporcional a . Comparando os valores:
Portanto não existe uma única configuração mais provável: existem duas configurações igualmente mais prováveis,
e
, cada uma com multiplicidade
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Não; há duas configurações igualmente mais prováveis: quanta em
e
em
, e
quantum em
e
em
(cada uma com
microestados).
(b)
(c)
(d)
(e) Não; há duas configurações igualmente mais prováveis: