13- Considere dois átomos “bizarros”, o átomo A contendo 2 osciladores unidimensionais, e o átomo B, 4 osciladores unidimensionais. Faça a distribuição de 3 quanta de energia nesse sistema, e contabilize o número de microestados.
a) Quantos microestados existem para 0 quantum no átomo A e 3 quanta no átomo B ?
b) Quantos microestados existem para 1 quantum no átomo A e 2 quanta no átomo B ?
c) Quantos microestados existem para 2 quanta no átomo A e 1 quantum no átomo B ?
d) Quantos microestados existem para 3 quanta no átomo A e 0 quantum no átomo B ?
e) Com base nos resultados acima, é possível dizer se há uma única configuração mais provável de ocorrer?

Passo 1

O enunciado dá:
  • Átomo A com 2 osciladores unidimensionais.
  • Átomo B com 4 osciladores unidimensionais.
  • Energia total em quanta: 3 quanta, a distribuir entre os dois átomos.
    As perguntas pedem, para cada divisão fixa de quanta entre A e B:
    a) número de microestados para 0 quantum em A e 3 quanta em B;
    b) número de microestados para 1 quantum em A e 2 quanta em B;
    c) número de microestados para 2 quanta em A e 1 quantum em B;
    d) número de microestados para 3 quanta em A e 0 quanta em B;
    e) determinar se existe uma única configuração mais provável de ocorrer (ou seja, comparar quantidades obtidas).

Passo 2

O que é um microestado aqui e como contamos?
  • Cada microestado é uma maneira específica de distribuir quanta idênticos entre os osciladores distinguíveis. Os quanta são indistinguíveis (são apenas unidades de energia), mas os osciladores são distinguíveis (cada oscilador é diferente), então contamos soluções inteiras não-negativas da soma dos ocupações.
  • A tarefa matemática equivalente: contar o número de soluções inteiras não-negativas de
n_1+n_2+\cdots+n_N=q,
onde N é o número de osciladores e q é o número de quanta atribuídos a esse átomo.
  • O resultado clássico (método “stars and bars”) diz que o número de soluções é
\Omega(N,q)=\binom{q+N-1}{q}.
Explicação verbal do porquê: imagine q estrelas (quanta) e coloque N-1 barras para separar as N caixas (osciladores). O número de arranjos distintos de q estrelas e N-1 barras é o número de sequências de q+(N-1) símbolos onde escolhemos as posições das q estrelas, isto é \binom{q+N-1}{q}.

Passo 3

Um exemplo curto para fixar:
  • Distribuir q=2 quanta em N=2 osciladores. Pela fórmula,
\Omega(2,2)=\binom{2+2-1}{2}=\binom{3}{2}=3.
As configurações são (2,0),(1,1),(0,2). Isso mostra concretamente como a fórmula conta os microestados.

Passo 4

Aplicando ao nosso sistema:
  • Para o átomo A temos N_A=2.
  • Para o átomo B temos N_B=4.
    Se atribuirmos q_A quanta a A e q_B quanta a B (com q_A+q_B=3), o número de microestados do sistema nessa divisão é o produto:
\Omega_{\text{sistema}}(q_A,q_B)=\Omega(N_A,q_A)\times\Omega(N_B,q_B)
ou explicitamente
\Omega_{\text{sistema}}(q_A,q_B)=\binom{q_A+N_A-1}{q_A}\cdot\binom{q_B+N_B-1}{q_B}.
Isso ocorre porque as escolhas internas de A e de B são independentes.

Passo 5

Caso (a): q_A=0, q_B=3.
  • Para A:
\Omega(N_A,q_A)=\binom{0+2-1}{0}=\binom{1}{0}=1.
Interpretação: se não há quanta em A, só há uma maneira (cada oscilador tem zero).
  • Para B:
\Omega(N_B,q_B)=\binom{3+4-1}{3}=\binom{6}{3}.
Calcule \binom{6}{3}:
\binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20.
  • Produto:
\Omega_{\text{sistema}}(0,3)=1\times20=20.

Passo 6

Caso (b): q_A=1, q_B=2.
  • Para A:
\Omega(N_A,q_A)=\binom{1+2-1}{1}=\binom{2}{1}=2.
(Intuitivamente: colocar 1 quantum em 2 osciladores dá duas possibilidades.)
  • Para B:
\Omega(N_B,q_B)=\binom{2+4-1}{2}=\binom{5}{2}.
Calcule \binom{5}{2}:
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
  • Produto:
\Omega_{\text{sistema}}(1,2)=2\times10=20.

Passo 7

Caso (c): q_A=2, q_B=1.
  • Para A:
\Omega(N_A,q_A)=\binom{2+2-1}{2}=\binom{3}{2}=3.
(As três distribuições são (2,0),(1,1),(0,2) entre os dois osciladores de A.)
  • Para B:
\Omega(N_B,q_B)=\binom{1+4-1}{1}=\binom{4}{1}=4.
  • Produto:
\Omega_{\text{sistema}}(2,1)=3\times4=12.

Passo 8

Caso (d): q_A=3, q_B=0.
  • Para A:
\Omega(N_A,q_A)=\binom{3+2-1}{3}=\binom{4}{3}=4.
  • Para B:
\Omega(N_B,q_B)=\binom{0+4-1}{0}=\binom{3}{0}=1.
  • Produto:
\Omega_{\text{sistema}}(3,0)=4\times1=4.

Passo 9

Verificação global e resposta à probabilidade:
  • Soma das multiplicidades das quatro divisões possíveis ( q_A=0,1,2,3) é
20+20+12+4=56.
  • Checagem pela fórmula total (todos os 6 osciladores juntos com 3 quanta):
\binom{3+6-1}{3}=\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56,
logo a soma confere — boa consistência.
  • Para saber qual configuração é mais provável, com quanta indistinguíveis e níveis energeticamente equivalentes, a probabilidade de uma divisão fixa (q_A,q_B) é proporcional a \Omega_{\text{sistema}}(q_A,q_B). Comparando os valores:
\Omega(0,3)=20,\quad \Omega(1,2)=20,\quad \Omega(2,1)=12,\quad \Omega(3,0)=4.
Portanto não existe uma única configuração mais provável: existem duas configurações igualmente mais prováveis, (0,3) e (1,2), cada uma com multiplicidade 20.

Resposta

(a) 20
(b) 20
(c) 12
(d) 4
(e) Não; há duas configurações igualmente mais prováveis: 0 quanta em A e 3 em B, e 1 quantum em A e 2 em B (cada uma com 20 microestados).

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