19- Combinando os resultados das questões anteriores, e levando em conta a discussão sobre a largura relativa da distribuição de energia, o que é possível concluir?
a) Quando sistemas suficientemente grandes são colocados em contato, trocando energia, é virtualmente impossível observar outra distribuição da energia que não a mais provável.
b) Quando sistemas suficientemente pequenos são colocados em contato, trocando energia, é possível observar uma distribuição de energia diferente daquela mais provável.

Passo 1

O enunciado pede que, combinando resultados anteriores e a discussão sobre a largura relativa da distribuição de energia, concluamos qual afirmação é válida entre duas opções:
a) Quando sistemas suficientemente grandes são postos em contato, trocando energia, é virtualmente impossível observar outra distribuição da energia que não a mais provável.
b) Quando sistemas suficientemente pequenos são postos em contato, trocando energia, é possível observar uma distribuição de energia diferente daquela mais provável.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado e nas questões anteriores):
  • Há uma distribuição de probabilidades para como a energia total E é repartida entre dois subsistemas quando eles trocam energia.
  • Falou-se sobre a “largura relativa” dessa distribuição de energia (ou seja, desvio padrão relativo \sigma/\langle E\rangle).
  • Queremos usar essa discussão para decidir quando flutuações ao redor da configuração mais provável são observáveis (macroscópicos vs microscópicos).

Passo 2

Esclarecendo a fórmula básica da probabilidade da partição de energia: se dois subsistemas 1 e 2 trocam energia mantendo E=E_1+E_2 fixo, a probabilidade de o subsistema 1 ter energia E_1 é proporcional ao produto das multiplicidades:
P(E_1)\propto \Omega_1(E_1)\,\Omega_2(E-E_1).
Aqui \Omega_i(E_i) é o número de microestados do subsistema i quando sua energia vale E_i. Essa é a expressão central: mais microestados significa maior probabilidade.

Passo 3

Passando para entropia e exponenciais: define-se a entropia por
S_i(E_i)=k\ln \Omega_i(E_i),
onde k é a constante de Boltzmann. Assim a probabilidade fica
P(E_1)\propto \exp\!\Big(\frac{S_1(E_1)+S_2(E-E_1)}{k}\Big).
Explicar cada coisa: S_i mede o log do número de microestados; maximizar S_1+S_2 com restrição E_1+E_2=E dá a distribuição mais provável (equilíbrio). A condição de equilíbrio é que as derivadas primeiras satisfaçam
\frac{dS_1}{dE_1}=\frac{dS_2}{dE_2},
e como \dfrac{dS}{dE}=\dfrac{1}{T} definimos a temperatura e obtemos T_1=T_2 no equilíbrio.

Passo 4

Agora vamos estudar as flutuações ao redor do valor mais provável. Expansão em série de Taylor da soma das entropias em torno do valor de equilíbrio E_1=\langle E_1\rangle:
S_1(E_1)+S_2(E-E_1)\approx S_{\text{max}} + \frac{1}{2}\left.\frac{d^2(S_1+S_2)}{dE_1^2}\right|_{\text{eq}}(E_1-\langle E_1\rangle)^2 + \cdots
A ausência do termo linear ocorre porque estamos expandindo em torno do máximo (condição de que derivada primeira é zero). Então P(E_1) tem formato aproximadamente gaussiano:
P(E_1)\approx \text{const}\times \exp\!\left(-\frac{(E_1-\langle E_1\rangle)^2}{2\sigma^2}\right),
onde a variância \sigma^2 é dada por
\sigma^2 = -\frac{k}{\left.\dfrac{d^2(S_1+S_2)}{dE_1^2}\right|_{\text{eq}}}.

Passo 5

Vamos relacionar a segunda derivada de S com capacidades térmicas: primeiro note que
\frac{d^2 S}{dE^2} = \frac{d}{dE}\Big(\frac{1}{T}\Big) = -\frac{1}{T^2}\frac{dT}{dE}.
Mas a capacidade térmica C é C=\dfrac{dE}{dT}, então \dfrac{dT}{dE}=\dfrac{1}{C}. Substituindo obtemos
\frac{d^2 S}{dE^2} = -\frac{1}{T^2 C}.
Para os dois subsistemas, avaliados no equilíbrio com T_1=T_2=T,
\left.\frac{d^2(S_1+S_2)}{dE_1^2}\right|_{\text{eq}} = -\frac{1}{T^2}\Big(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\Big).
Logo a variância é
\sigma^2 = kT^2\frac{1}{\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}} = kT^2\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}.
Observação física importante: para sistemas extensivos, a capacidade térmica escala com o número de partículas N (ou com o tamanho): C\propto N.

Passo 6

Agora examine a largura relativa da distribuição, ou seja \dfrac{\sigma}{\langle E_1\rangle}. Tipicamente \langle E_1\rangle também escala como N (energia média proporcional ao número de partículas). Assim, se C_1\propto N_1 e \langle E_1\rangle\propto N_1, então
\sigma \propto \sqrt{C_{\text{efetivo}}}\propto \sqrt{N}, \qquad \langle E_1\rangle\propto N,
e portanto a largura relativa se comporta como
\frac{\sigma}{\langle E_1\rangle}\sim \frac{1}{\sqrt{N}}.
Interpretação: à medida que o sistema fica grande ( N\to grande), \sigma/\langle E\rangle\to 0. Para sistemas macroscópicos (ex.: corpos com N\sim 10^{23}), a fração \sigma/\langle E\rangle é absurdamente pequena, logo flutuações experimentais são desprezíveis. Para sistemas microscópicos (pequeno N), \sigma/\langle E\rangle pode ser grande e flutuações observáveis.

Passo 7

Conclusões diretas aplicadas às opções do enunciado, com linguagem direta e o raciocínio por trás:
  • A opção (a) afirma que, para sistemas suficientemente grandes, é virtualmente impossível observar outra distribuição além da mais provável. Com base em \sigma/\langle E\rangle\sim 1/\sqrt{N}, isso é correto: para grandes N as flutuações são tão pequenas que qualquer outra distribuição tem probabilidade praticamente zero. Ex.: para um corpo macroscópico as flutuações são da ordem de 10^{-11} ou menores — impossível de medir.
  • A opção (b) afirma que, para sistemas suficientemente pequenos, é possível observar uma distribuição diferente da mais provável. Também é correta: quando N é pequeno a largura relativa não é negligenciável, então as flutuações ao redor do valor mais provável são grandes e podemos, com boa probabilidade, observar desvios apreciáveis.

Passo 8

Comentário intuitivo final e motivador: pense como se a distribuição mais provável fosse o pico de uma montanha. Para sistemas grandes, a montanha é altíssima e muito estreita — você quase sempre está exatamente no cume. Para sistemas pequenos, a montanha é baixa e larga — você pode estar com facilidade em regiões ao redor. Portanto ambas as frases (a) e (b) descrevem corretamente os regimes macroscópico e microscópico.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira

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