19- Combinando os resultados das questões anteriores, e levando em conta a discussão sobre a largura relativa da distribuição de energia, o que é possível concluir?
a) Quando sistemas suficientemente grandes são colocados em contato, trocando energia, é virtualmente impossível observar outra distribuição da energia que não a mais provável.
b) Quando sistemas suficientemente pequenos são colocados em contato, trocando energia, é possível observar uma distribuição de energia diferente daquela mais provável.
Passo 1
O enunciado pede que, combinando resultados anteriores e a discussão sobre a largura relativa da distribuição de energia, concluamos qual afirmação é válida entre duas opções:
a) Quando sistemas suficientemente grandes são postos em contato, trocando energia, é virtualmente impossível observar outra distribuição da energia que não a mais provável.
b) Quando sistemas suficientemente pequenos são postos em contato, trocando energia, é possível observar uma distribuição de energia diferente daquela mais provável.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado e nas questões anteriores):
Há uma distribuição de probabilidades para como a energia total E é repartida entre dois subsistemas quando eles trocam energia.
Falou-se sobre a “largura relativa” dessa distribuição de energia (ou seja, desvio padrão relativo \sigma/\langle E\rangle).
Queremos usar essa discussão para decidir quando flutuações ao redor da configuração mais provável são observáveis (macroscópicos vs microscópicos).
Passo 2
Esclarecendo a fórmula básica da probabilidade da partição de energia: se dois subsistemas 1 e 2 trocam energia mantendo E=E_1+E_2 fixo, a probabilidade de o subsistema 1 ter energia E_1 é proporcional ao produto das multiplicidades:
P(E_1)\propto \Omega_1(E_1)\,\Omega_2(E-E_1).
Aqui \Omega_i(E_i) é o número de microestados do subsistema i quando sua energia vale E_i. Essa é a expressão central: mais microestados significa maior probabilidade.
Passo 3
Passando para entropia e exponenciais: define-se a entropia por
S_i(E_i)=k\ln \Omega_i(E_i),
onde k é a constante de Boltzmann. Assim a probabilidade fica
Explicar cada coisa: S_i mede o log do número de microestados; maximizar S_1+S_2 com restrição E_1+E_2=E dá a distribuição mais provável (equilíbrio). A condição de equilíbrio é que as derivadas primeiras satisfaçam
\frac{dS_1}{dE_1}=\frac{dS_2}{dE_2},
e como \dfrac{dS}{dE}=\dfrac{1}{T} definimos a temperatura e obtemos T_1=T_2 no equilíbrio.
Passo 4
Agora vamos estudar as flutuações ao redor do valor mais provável. Expansão em série de Taylor da soma das entropias em torno do valor de equilíbrio E_1=\langle E_1\rangle:
A ausência do termo linear ocorre porque estamos expandindo em torno do máximo (condição de que derivada primeira é zero). Então P(E_1) tem formato aproximadamente gaussiano:
Observação física importante: para sistemas extensivos, a capacidade térmica escala com o número de partículas N (ou com o tamanho): C\propto N.
Passo 6
Agora examine a largura relativa da distribuição, ou seja \dfrac{\sigma}{\langle E_1\rangle}. Tipicamente \langle E_1\rangle também escala como N (energia média proporcional ao número de partículas). Assim, se C_1\propto N_1 e \langle E_1\rangle\propto N_1, então
\sigma \propto \sqrt{C_{\text{efetivo}}}\propto \sqrt{N}, \qquad \langle E_1\rangle\propto N,
Interpretação: à medida que o sistema fica grande (N\to grande), \sigma/\langle E\rangle\to 0. Para sistemas macroscópicos (ex.: corpos com N\sim 10^{23}), a fração \sigma/\langle E\rangle é absurdamente pequena, logo flutuações experimentais são desprezíveis. Para sistemas microscópicos (pequeno N), \sigma/\langle E\rangle pode ser grande e flutuações observáveis.
Passo 7
Conclusões diretas aplicadas às opções do enunciado, com linguagem direta e o raciocínio por trás:
A opção (a) afirma que, para sistemas suficientemente grandes, é virtualmente impossível observar outra distribuição além da mais provável. Com base em \sigma/\langle E\rangle\sim 1/\sqrt{N}, isso é correto: para grandes N as flutuações são tão pequenas que qualquer outra distribuição tem probabilidade praticamente zero. Ex.: para um corpo macroscópico as flutuações são da ordem de 10^{-11} ou menores — impossível de medir.
A opção (b) afirma que, para sistemas suficientemente pequenos, é possível observar uma distribuição diferente da mais provável. Também é correta: quando N é pequeno a largura relativa não é negligenciável, então as flutuações ao redor do valor mais provável são grandes e podemos, com boa probabilidade, observar desvios apreciáveis.
Passo 8
Comentário intuitivo final e motivador: pense como se a distribuição mais provável fosse o pico de uma montanha. Para sistemas grandes, a montanha é altíssima e muito estreita — você quase sempre está exatamente no cume. Para sistemas pequenos, a montanha é baixa e larga — você pode estar com facilidade em regiões ao redor. Portanto ambas as frases (a) e (b) descrevem corretamente os regimes macroscópico e microscópico.