11.9 Deduza a lei de Wien, a da constância do produto \lambda_{\text {max }} T, a partir da distribuição de Planck. Deduza a expressão da constante da lei.
11.10 \ddagger Demonstre que a distribuição de Planck se reduz à lei de Rayleigh-Jeans nos comprimentos de onda longos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A partir da distribuição de Planck em comprimento de onda
B(\lambda,T)=\frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}
deduzir a lei de deslocamento de Wien, ou seja, mostrar que o produto \lambda_{\max}T é constante e obter expressão dessa constante.
2. Mostrar que, para comprimentos de onda longos \lambda\to\infty, essa mesma distribuição reduz-se à lei de Rayleigh–Jeans
B_{\text{RJ}}(\lambda,T)=\frac{2c\,kT}{\lambda^{4}}.

Passo 2

Para achar \lambda_{\max} precisamos impor
\frac{d}{d\lambda}B(\lambda,T)=0.
É mais fácil trabalhar com a variável adimensional
x\equiv \frac{hc}{\lambda kT},
de modo que \lambda = \tfrac{hc}{kT\,x}. Substituindo em B(\lambda,T) e usando log-derivada, obtemos a condição de máximo:

Passo 3

Calculemos rapidamente a derivada por logaritmo:
\ln B = \ln(2hc^{2}) -5\ln\lambda -\ln\bigl(e^{x}-1\bigr),
então
\frac{d\ln B}{d\lambda} =-\frac{5}{\lambda} -\frac{1}{e^{x}-1}\frac{d}{d\lambda}\bigl(e^{x}-1\bigr) =-\frac{5}{\lambda} -\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\frac{dx}{d\lambda}.
Como x=hc/(\lambda kT), tem dx/d\lambda=-x/\lambda. Logo a condição \frac{d\ln B}{d\lambda}=0 vira
-\frac{5}{\lambda} +\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\,\frac{x}{\lambda} =0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x\,e^{x}}{e^{x}-1}=5.

Passo 4

A equação transcendental
\frac{x\,e^{x}}{e^{x}-1}=5
tem solução numérica
x\approx 4,9651.
Como x=hc/(\lambda_{\max}kT), segue
\lambda_{\max}T = \frac{hc}{k\,x} \equiv b,
onde
b=\frac{hc}{k\,4{,}9651}\approx 2{,}898\times 10^{-3}\,\text{m\cdotK}.

Passo 5

Concluímos a lei de Wien no formato
\boxed{\lambda_{\max}T=b\approx 2{,}898\times 10^{-3}\,\text{m\cdotK}}.

Passo 6

Para a lei de Rayleigh–Jeans tomamos a expressão de Planck e consideramos comprimentos de onda grandes, ou seja x=hc/(\lambda kT)\ll1. Então
e^{x}-1 \approx x
e
B(\lambda,T) =\frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\frac{1}{e^{x}-1} \approx \frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\frac{1}{x} =\frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\frac{\lambda kT}{hc} =\frac{2c\,kT}{\lambda^{4}}.

Resposta

Para a lei de Wien: \displaystyle \lambda_{\max}T=b, com \displaystyle b=\frac{hc}{k\,4{,}9651}\approx 2{,}898\times 10^{-3}\,\mathrm{m\cdot K}. Para o limite de grandes \lambda: \displaystyle B(\lambda,T)\to B_{\text{RJ}}(\lambda,T)=\frac{2c\,kT}{\lambda^{4}}.

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