11.9 Deduza a lei de Wien, a da constância do produto
, a partir da distribuição de Planck. Deduza a expressão da constante da lei.
11.10
Demonstre que a distribuição de Planck se reduz à lei de Rayleigh-Jeans nos comprimentos de onda longos.
11.10
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- A partir da distribuição de Planck em comprimento de onda
deduzir a lei de deslocamento de Wien, ou seja, mostrar que o produto
é constante e obter expressão dessa constante.
2. Mostrar que, para comprimentos de onda longos , essa mesma distribuição reduz-se à lei de Rayleigh–Jeans
2. Mostrar que, para comprimentos de onda longos
Passo 2
Para achar
precisamos impor
É mais fácil trabalhar com a variável adimensional
de modo que
. Substituindo em
e usando log-derivada, obtemos a condição de máximo:
Passo 3
Calculemos rapidamente a derivada por logaritmo:
então
Como
, tem
. Logo a condição
vira
Passo 4
A equação transcendental
tem solução numérica
Como
, segue
onde
Passo 5
Concluímos a lei de Wien no formato
Passo 6
Para a lei de Rayleigh–Jeans tomamos a expressão de Planck e consideramos comprimentos de onda grandes, ou seja
. Então
e
Resposta
Para a lei de Wien:
, com
Para o limite de grandes
: