11* (Desafio1). A e B são duas estações de uma estrada de ferro de linha dupla. Num dado instante, passa pela estação A um trem T1, que se dirige para B com velocidade de 54,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Decorrido um certo intervalo de tempo, outro trem T2, que se move a 72,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, passa por A rumo à estação B. O intervalo de tempo que separa as passagens de T1 e T2 pela estação A é tal que ambos passariam simultaneamente pela estação B. Acontece, entretanto, que após ter percorrido 2 / 3 da distância que separa as duas estações, o trem T1 reduz sua velocidade à metade e em consequência é ultrapassado por T2 num ponto situado 10,0 \mathrm{~km} antes da estação B. Determinar a distância entre as duas estações.

Passo 1

O enunciado dá uma situação com dois trens que partem da estação A rumo à estação B. As informações importantes são:
  • Velocidade do trem T_1: v_1 = 54,0\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade do trem T_2: v_2 = 72,0\\ \mathrm{km/h}.
  • T_1 parte de A num instante que chamamos de t=0.
  • T_2 parte de A um intervalo \Delta t depois.
  • O intervalo \Delta t é tal que, se T_1 mantivesse v_1 constante, ambos chegariam simultaneamente à estação B.
  • Na realidade, T_1 percorre \tfrac{2}{3} da distância D entre A e B com velocidade v_1, então reduz sua velocidade à metade (isto é, passa a v_1/2) e é ultrapassado por T_2 num ponto que fica 10,0\\ \mathrm{km} antes de B (ou seja, no ponto a distância D-10,0 de A).
    O que o problema pede: determinar a distância D entre A e B.

Passo 2

Vamos definir variáveis e lembrar a fórmula básica que vamos usar:
  • Distância entre A e B: D (km).
  • Tempo = distância / velocidade. Em símbolos, o tempo que um corpo leva para percorrer uma distância s com velocidade constante v é t = \dfrac{s}{v}.
Usaremos essa fórmula várias vezes para comparar tempos absolutos (medidos a partir de t=0) das posições de T_1 e T_2.

Passo 3

Primeiro, usemos a condição “se T_1 não reduzisse, ambos chegariam simultaneamente a B” para obter \Delta t.
  • Tempo de T_1 para ir de A a B mantendo v_1: \dfrac{D}{v_1} = \dfrac{D}{54,0}.
  • Tempo de T_2 desde sua passagem por A até B: \dfrac{D}{v_2} = \dfrac{D}{72,0}.
    Como T_2 parte \Delta t depois e chegam ao mesmo instante,
\dfrac{D}{54,0} = \Delta t + \dfrac{D}{72,0}.
Isolando \Delta t,
\Delta t = \dfrac{D}{54,0} - \dfrac{D}{72,0} = D\!\left(\dfrac{1}{54,0}-\dfrac{1}{72,0}\right).
Calcule a diferença de frações. Um modo rápido é pôr em denominador comum 216,0: \dfrac{1}{54,0}=\dfrac{4}{216,0} e \dfrac{1}{72,0}=\dfrac{3}{216,0}. Portanto
\Delta t = D\cdot\dfrac{1}{216,0} = \dfrac{D}{216,0}\\ \text{(horas)}.

Passo 4

Agora vamos escrever os tempos absolutos até o ponto de ultrapassagem (ponto M a D-10,0 km de A) para cada trem na situação real (onde T_1 reduz a velocidade).
Para T_1:
  • Percorre os primeiros \tfrac{2}{3}D com velocidade 54,0. Tempo até esse ponto:
t_{a} = \dfrac{\tfrac{2}{3}D}{54,0} = \dfrac{2D}{3\cdot54,0}.
Simplificando \dfrac{2}{3\cdot54,0} = \dfrac{1}{81,0}, logo
t_{a} = \dfrac{D}{81,0}\\ \text{(horas)}.
  • Depois reduz à metade: nova velocidade v_1' = \dfrac{54,0}{2} = 27,0\\ \mathrm{km/h}.
  • Distância entre o ponto onde reduz e o ponto de ultrapassagem M: (D-10,0) - \tfrac{2}{3}D = \dfrac{D}{3} - 10,0.
  • Tempo nessa segunda parte (após redução) até M:
t_{b} = \dfrac{\tfrac{D}{3} - 10,0}{27,0}.
  • Portanto o tempo absoluto (desde t=0) em que T_1 atinge M é
t_{T1} = t_{a} + t_{b} = \dfrac{D}{81,0} + \dfrac{\tfrac{D}{3} - 10,0}{27,0}.

Passo 5

Para T_2:
  • T_2 parte de A em t=\Delta t = \dfrac{D}{216,0}.
  • Tempo de T_2 desde sua partida até M (distância D-10,0) é \dfrac{D-10,0}{72,0}.
  • Portanto o tempo absoluto em que T_2 atinge M é
t_{T2} = \dfrac{D}{216,0} + \dfrac{D-10,0}{72,0}.

Passo 6

No ponto de ultrapassagem os dois chegam exatamente ao mesmo tempo, então t_{T1} = t_{T2}. Escrevendo a igualdade:
\dfrac{D}{81,0} + \dfrac{\tfrac{D}{3} - 10,0}{27,0} = \dfrac{D}{216,0} + \dfrac{D-10,0}{72,0}.
Vamos simplificar passo a passo. Primeiro simplificar o membro esquerdo:
\dfrac{\tfrac{D}{3}}{27,0} = \dfrac{D}{81,0},
então o lado esquerdo é
\dfrac{D}{81,0} + \dfrac{D}{81,0} - \dfrac{10,0}{27,0} = \dfrac{2D}{81,0} - \dfrac{10,0}{27,0}.
O lado direito: \dfrac{D}{216,0} + \dfrac{D}{72,0} - \dfrac{10,0}{72,0}. Note que \dfrac{1}{216,0}+\dfrac{1}{72,0} = \dfrac{1}{54,0} (porque \dfrac{1}{72,0}=\dfrac{3}{216,0} então soma é \dfrac{4}{216,0}=\dfrac{1}{54,0}). Então o lado direito é
\dfrac{D}{54,0} - \dfrac{10,0}{72,0}.
Agora igualamos as duas formas já simplificadas:
\dfrac{2D}{81,0} - \dfrac{10,0}{27,0} = \dfrac{D}{54,0} - \dfrac{10,0}{72,0}.
Passe os termos com D para um lado e os números para o outro:
\dfrac{2D}{81,0} - \dfrac{D}{54,0} = \dfrac{10,0}{27,0} - \dfrac{10,0}{72,0}.
Calcule o lado esquerdo com denominador comum 162,0: \dfrac{2}{81,0}=\dfrac{4}{162,0} e \dfrac{1}{54,0}=\dfrac{3}{162,0}, logo
\dfrac{2D}{81,0} - \dfrac{D}{54,0} = \dfrac{D}{162,0}.
Calcule o lado direito. Coloque 10,0 em evidência:
\dfrac{10,0}{27,0} - \dfrac{10,0}{72,0} = 10,0\!\left(\dfrac{1}{27,0}-\dfrac{1}{72,0}\right).
Novamente denominador comum 216,0: \dfrac{1}{27,0}=\dfrac{8}{216,0}, \dfrac{1}{72,0}=\dfrac{3}{216,0}, diferença \dfrac{5}{216,0}. Portanto o lado direito vale
10,0\cdot\dfrac{5}{216,0} = \dfrac{50,0}{216,0} = \dfrac{25,0}{108,0}.
Assim a equação reduz a
\dfrac{D}{162,0} = \dfrac{25,0}{108,0}.

Passo 7

Resolva para D:
D = \dfrac{25,0}{108,0}\cdot 162,0.
Simplifique a fração \dfrac{162,0}{108,0} = \dfrac{3}{2} = 1,5. Então
D = 25,0 \times 1,5 = 37,5\\ \text{(km)}.
Fazendo uma checagem rápida de consistência: \tfrac{2}{3}D = 25,0\\ \mathrm{km} e o ponto de ultrapassagem D-10,0 = 27,5\\ \mathrm{km} é depois de 25,0\\ \mathrm{km}, como deve ser; os tempos também batem com as fórmulas usadas, então a solução é consistente.

Resposta

\;37,5\\ \mathrm{km}

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