11* (Desafio1). A e B são duas estações de uma estrada de ferro de linha dupla. Num dado instante, passa pela estação A um trem T1, que se dirige para B com velocidade de
. Decorrido um certo intervalo de tempo, outro trem T2, que se move a
, passa por A rumo à estação B. O intervalo de tempo que separa as passagens de T1 e T2 pela estação
é tal que ambos passariam simultaneamente pela estação
. Acontece, entretanto, que após ter percorrido
da distância que separa as duas estações, o trem T1 reduz sua velocidade à metade e em consequência é ultrapassado por T2 num ponto situado
antes da estação B. Determinar a distância entre as duas estações.
Passo 1
O enunciado dá uma situação com dois trens que partem da estação
rumo à estação
. As informações importantes são:
- Velocidade do trem
: . - Velocidade do trem
: . -
parte de num instante que chamamos de . -
parte de um intervalo depois. - O intervalo
é tal que, se mantivesse constante, ambos chegariam simultaneamente à estação . - Na realidade,
percorre da distância entre e com velocidade , então reduz sua velocidade à metade (isto é, passa a ) e é ultrapassado por num ponto que fica antes de (ou seja, no ponto a distância de ).
O que o problema pede: determinar a distânciaentre e .
Passo 2
Vamos definir variáveis e lembrar a fórmula básica que vamos usar:
- Distância entre
e : (km). - Tempo = distância / velocidade. Em símbolos, o tempo que um corpo leva para percorrer uma distância
com velocidade constante é .
Usaremos essa fórmula várias vezes para comparar tempos absolutos (medidos a partir de
) das posições de
e
.
Passo 3
Primeiro, usemos a condição “se
não reduzisse, ambos chegariam simultaneamente a
” para obter
.
- Tempo de
para ir de a mantendo : . - Tempo de
desde sua passagem por até : .
Comoparte depois e chegam ao mesmo instante,
Isolando
,
Calcule a diferença de frações. Um modo rápido é pôr em denominador comum
:
e
. Portanto
Passo 4
Agora vamos escrever os tempos absolutos até o ponto de ultrapassagem (ponto
a
km de
) para cada trem na situação real (onde
reduz a velocidade).
Para
:
- Percorre os primeiros
com velocidade . Tempo até esse ponto:
Simplificando
, logo
- Depois reduz à metade: nova velocidade
. - Distância entre o ponto onde reduz e o ponto de ultrapassagem
: . - Tempo nessa segunda parte (após redução) até
:
- Portanto o tempo absoluto (desde
) em que atinge é
Passo 5
Para
:
-
parte de em . - Tempo de
desde sua partida até (distância ) é . - Portanto o tempo absoluto em que
atinge é
Passo 6
No ponto de ultrapassagem os dois chegam exatamente ao mesmo tempo, então
. Escrevendo a igualdade:
Vamos simplificar passo a passo. Primeiro simplificar o membro esquerdo:
então o lado esquerdo é
O lado direito:
. Note que
(porque
então soma é
). Então o lado direito é
Agora igualamos as duas formas já simplificadas:
Passe os termos com
para um lado e os números para o outro:
Calcule o lado esquerdo com denominador comum
:
e
, logo
Calcule o lado direito. Coloque
em evidência:
Novamente denominador comum
:
,
, diferença
. Portanto o lado direito vale
Assim a equação reduz a
Passo 7
Resolva para
:
Simplifique a fração
. Então
Fazendo uma checagem rápida de consistência:
e o ponto de ultrapassagem
é depois de
, como deve ser; os tempos também batem com as fórmulas usadas, então a solução é consistente.