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Determine uma solução particular de cada uma das seguintes equações:
a)
Determine uma solução particular de cada uma das seguintes equações:
a)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma solução particular de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo do tipo seno. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma função
que satisfaça
Passo 2
Primeiro achamos a solução complementar resolvendo a equação característica associada:
$$y_c(x)=C_1e{4x}+C_2e{-x}.
$$
Passo 3
Para o termo não-homogêneo
fazemos o ansatz
$$y_p(x)=A\cos x+B\sin x,
$$onde
e
são constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituímos na equação:
Isso deve ser igual a
Passo 5
Resolvendo o sistema
da primeira equação vem
logo
Passo 6
Portanto, uma solução particular é