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Determine uma solução particular de cada uma das seguintes equações:
a) y^prime prime-3 y^prime-4 y=2 sen x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução particular de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo do tipo seno. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma função yp(x) que satisfaça
y''-3y'-4y=2sin x

Passo 2

Primeiro achamos a solução complementar resolvendo a equação característica associada:
r^2-3r-4=0 As raízes são r=4 e r=-1, então
$$y_c(x)=C_1e{4x}+C_2e{-x}.
$$

Passo 3

Para o termo não-homogêneo 2sin x fazemos o ansatz
$$y_p(x)=A\cos x+B\sin x,
$$onde yp(x)=Acos x+Bsin x, e A são constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
B
yp'= -Asin x +Bcos x,

Passo 4

Substituímos na equação:
yp''-3yp'-4yp = (-Acos x -Bsin x) -3(-Asin x +Bcos x) -4(Acos x +Bsin x),
= (-5A-3B)cos x + (3A-5B)sin x
Isso deve ser igual a 2sin x +0cos x, ou seja,
-5A-3B=0,
3A-5B=2

Passo 5

Resolvendo o sistema
-5A-3B=0,
3A-5B=2,
da primeira equação vem A=-tfrac35B. Substituindo na segunda:
3l(-tfrac35Br)-5B=2implies -tfrac95B-5B=-tfrac9+255B=-tfrac345B=2implies B=-tfrac517,
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A=-tfrac35l(-tfrac517r)=tfrac317

Passo 6

Portanto, uma solução particular é
yp(x)=317cos x -517sin x

Resposta

yp(x)=317cos x-517sin x

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