1/11 Determine the percent error n in replacing the sine and the tangent of an angle by the value of the angle in radians for angle values of 5^{\circ}, 10^{\circ}, and 20^{\circ}. Explain the qualitative difference between the sine and tangent results.

Passo 1

O enunciado pede: para cada um dos ângulos 5^\circ, 10^\circ e 20^\circ, determinar o erro percentual n ao substituir \sin e \tan do ângulo pelo valor do próprio ângulo em radianos. Informações dadas:
  • Ângulos: 5^\circ, 10^\circ, 20^\circ.
  • A aproximação que estamos testando é substituir \sin(\theta) por \theta (com \theta em radianos) e substituir \tan(\theta) por \theta.
    O que se pede explicitamente: calcular o erro percentual (para seno e tangente, separadamente) para cada um dos três ângulos e comentar qualitativamente a diferença entre os resultados para \sin e para \tan.

Passo 2

Definir claramente o que é erro percentual. Se a quantidade verdadeira for T e a aproximação for A, o erro percentual absoluto (em módulo) é
n = 100\cdot\frac{|A-T|}{|T|}\%.
Aqui, para o seno usamos T=\sin(\theta) e A=\theta. Para a tangente usamos T=\tan(\theta) e A=\theta. Vou usar esse n (valor positivo) para comparar as aproximações.

Passo 3

Converter os ângulos para radianos (fórmula: \theta_{\text{rad}}=\theta_{\text{deg}}\cdot\dfrac{\pi}{180}):
\theta=5^\circ\quad\Rightarrow\quad \theta=\dfrac{\pi}{36}\approx 0,0872664626,
\theta=10^\circ\quad\Rightarrow\quad \theta=\dfrac{\pi}{18}\approx 0,1745329252,
\theta=20^\circ\quad\Rightarrow\quad \theta=\dfrac{\pi}{9}\approx 0,3490658504.
(Nestas linhas os números entre parênteses são os valores de \theta em radianos.)

Passo 4

Explicação didática rápida: por que se costuma aproximar \sin\theta\approx\theta e \tan\theta\approx\theta para ângulos pequenos? Use a série de Taylor ao redor de \theta=0:
\sin\theta = \theta - \dfrac{\theta^3}{6} + O(\theta^5),
\tan\theta = \theta + \dfrac{\theta^3}{3} + O(\theta^5).
Daí, os erros de aproximar \sin\theta por \theta e \tan\theta por \theta têm, na ordem dominante, as formas
\theta-\sin\theta \approx \dfrac{\theta^3}{6}, \qquad \tan\theta-\theta \approx \dfrac{\theta^3}{3}.
Note que o termo cúbico aparece em ambos, porém com coeficientes diferentes: 1/6 para \sin e 1/3 para \tan, então a mesma \theta produz, a princípio, um erro cúbico aproximadamente duas vezes maior para \tan do que para \sin. Isso já dá a pista qualitativa que a aproximação é pior para \tan conforme o ângulo cresce.

Passo 5

Agora faço os cálculos numéricos (valores de \sin\theta e \tan\theta são os valores verdadeiros usados para o denominador na fórmula do erro percentual). Para \theta=5^\circ ( \theta\approx 0,0872664626):
\sin(5^\circ)\approx 0,0871557427, \qquad \tan(5^\circ)\approx 0,0874886635.
Erros absolutos:
|\theta-\sin\theta|\approx 0,0001107199, \qquad |\theta-\tan\theta|\approx 0,0002222009.
Erros percentuais:
n_{\sin}(5^\circ)=100\cdot\dfrac{0,0001107199}{0,0871557427}\%\approx 0,127\%,
n_{\tan}(5^\circ)=100\cdot\dfrac{0,0002222009}{0,0874886635}\%\approx 0,254\%.

Passo 6

Para \theta=10^\circ ( \theta\approx 0,1745329252):
\sin(10^\circ)\approx 0,1736481777, \qquad \tan(10^\circ)\approx 0,1763269807.
Erros absolutos:
|\theta-\sin\theta|\approx 0,0008847475, \qquad |\theta-\tan\theta|\approx 0,0017940555.
Erros percentuais:
n_{\sin}(10^\circ)=100\cdot\dfrac{0,0008847475}{0,1736481777}\%\approx 0,509\%,
n_{\tan}(10^\circ)=100\cdot\dfrac{0,0017940555}{0,1763269807}\%\approx 1,02\%.

Passo 7

Para \theta=20^\circ ( \theta\approx 0,3490658504):
\sin(20^\circ)\approx 0,3420201433, \qquad \tan(20^\circ)\approx 0,3639702343.
Erros absolutos:
|\theta-\sin\theta|\approx 0,0070457071, \qquad |\theta-\tan\theta|\approx 0,0149043839.
Erros percentuais:
n_{\sin}(20^\circ)=100\cdot\dfrac{0,0070457071}{0,3420201433}\%\approx 2,06\%,
n_{\tan}(20^\circ)=100\cdot\dfrac{0,0149043839}{0,3639702343}\%\approx 4,10\%.

Passo 8

Comentário qualitativo final (resumindo a intuição): para ângulos pequenos a aproximação \sin\theta\approx\theta e \tan\theta\approx\theta funciona bem porque os termos de ordem superior são pequenos; entretanto, o termo cúbico em \tan tem coeficiente maior ( 1/3) do que em \sin ( 1/6), por isso a mesma \theta introduz um erro aproximadamente duas vezes maior na tangente do que no seno. Na prática, conforme se observa nos números, a aproximação já fica um pouco grosseira em 20^\circ (erro de alguns por cento), e a substituição é mais segura para \sin do que para \tan.

Resposta

Para 5^\circ: n_{\sin}\approx 0,127\%
Para 5^\circ: n_{\tan}\approx 0,254\%
Para 10^\circ: n_{\sin}\approx 0,509\%
Para 10^\circ: n_{\tan}\approx 1,02\%
Para 20^\circ: n_{\sin}\approx 2,06\%
Para 20^\circ: n_{\tan}\approx 4,10\%

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