1/11 Determine the percent error
in replacing the sine and the tangent of an angle by the value of the angle in radians for angle values of
, and
. Explain the qualitative difference between the sine and tangent results.
Passo 1
O enunciado pede: para cada um dos ângulos
,
e
, determinar o erro percentual
ao substituir
e
do ângulo pelo valor do próprio ângulo em radianos. Informações dadas:
- Ângulos:
, , . - A aproximação que estamos testando é substituir
por (com em radianos) e substituir por .
O que se pede explicitamente: calcular o erro percentual (para seno e tangente, separadamente) para cada um dos três ângulos e comentar qualitativamente a diferença entre os resultados parae para .
Passo 2
Definir claramente o que é erro percentual. Se a quantidade verdadeira for
e a aproximação for
, o erro percentual absoluto (em módulo) é
Aqui, para o seno usamos
e
. Para a tangente usamos
e
. Vou usar esse
(valor positivo) para comparar as aproximações.
Passo 3
Converter os ângulos para radianos (fórmula:
):
(Nestas linhas os números entre parênteses são os valores de
em radianos.)
Passo 4
Explicação didática rápida: por que se costuma aproximar
e
para ângulos pequenos? Use a série de Taylor ao redor de
:
Daí, os erros de aproximar
por
e
por
têm, na ordem dominante, as formas
Note que o termo cúbico aparece em ambos, porém com coeficientes diferentes:
para
e
para
, então a mesma
produz, a princípio, um erro cúbico aproximadamente duas vezes maior para
do que para
. Isso já dá a pista qualitativa que a aproximação é pior para
conforme o ângulo cresce.
Passo 5
Agora faço os cálculos numéricos (valores de
e
são os valores verdadeiros usados para o denominador na fórmula do erro percentual). Para
(
):
Erros absolutos:
Erros percentuais:
Passo 6
Para
(
):
Erros absolutos:
Erros percentuais:
Passo 7
Para
(
):
Erros absolutos:
Erros percentuais:
Passo 8
Comentário qualitativo final (resumindo a intuição): para ângulos pequenos a aproximação
e
funciona bem porque os termos de ordem superior são pequenos; entretanto, o termo cúbico em
tem coeficiente maior (
) do que em
(
), por isso a mesma
introduz um erro aproximadamente duas vezes maior na tangente do que no seno. Na prática, conforme se observa nos números, a aproximação já fica um pouco grosseira em
(erro de alguns por cento), e a substituição é mais segura para
do que para
.
Resposta
Para
:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para
Para
Para
Para
Para